Rutulys

Kas yra rutulys?

Sfera (sferos paviršius) – tai visų taškų, vienodai nutolusių nuo centro, aibė erdvėje. Tai tarsi „apskritimas erdvėje" – tik paviršius.

Rutulys – tai erdvinis kūnas, ribojamas sferos. Tai visa vidinė sritis kartu su sferos paviršiumi (kaip „skritulys erdvėje").

Paprastai tariant: sfera – tai kamuolio paviršius, rutulys – tai visas kamuolys.

Pagrindiniai elementai:

Centras $O$ – taškas, nuo kurio visi sferos taškai vienodai nutolę
Spindulys $r$ – atstumas nuo centro iki sferos paviršiaus
Skersmuo $d = 2r$ – ilgiausia atkarpa per centrą

Sferos paviršiaus plotas

$S = 4\pi r^2$

Sferos paviršiaus plotas lygus keturiems didžiausio apskritimo plotams.

Pavyzdys 1. Rutulio spindulys 5 cm. Raskite sferos paviršiaus plotą.

$S = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$

Pavyzdys 2. Krepšinio kamuolio skersmuo yra apytiksliai 24 cm. Raskite paviršiaus plotą.

Spindulys: $r = 24/2 = 12$ cm.

$S = 4\pi \cdot 12^2 = 576\pi \approx 1809{,}6 \text{ cm}^2$

Rutulio tūris

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Pavyzdys 3. Rutulio spindulys 3 cm. Raskite tūrį.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3$

Pavyzdys 4. Futbolo kamuolio skersmuo 22 cm. Raskite tūrį.

Spindulys: $r = 22/2 = 11$ cm.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 11^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1331 = \frac{5324}{3}\pi \approx 5575{,}3 \text{ cm}^3$

Pusrutulys

Pusrutulys – tai rutulys, padalytas per centrą į dvi lygias dalis.

Pusrutulio tūris:

$V_{\text{pusrut}} = \frac{2}{3}\pi r^3$

Pusrutulio pilnas paviršiaus plotas (pusė sferos + pagrindo apskritimas):

$S_{\text{pusrut}} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

Pavyzdys 5. Pusrutulio spindulys 6 cm. Raskite tūrį ir pilną paviršiaus plotą.

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 216 = 144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^3$

$S = 3\pi \cdot 6^2 = 108\pi \approx 339{,}3 \text{ cm}^2$

Didysis apskritimas

Didysis apskritimas – tai apskritimas, gautas perkirtus rutulį plokštuma per centrą. Jo spindulys lygus rutulio spinduliui $r$ .

Bet kokia plokštuma, kertanti rutulį, pjūvyje duoda apskritimą. Tačiau tik plokštuma per centrą duoda didžiausią apskritimą.

Rutulio pjūvis plokštuma

Jei plokštuma kerta rutulį atstumu $d$ nuo centro (kur $d < r$ ), pjūvio apskritimo spindulys:

$r_{\text{pj}} = \sqrt{r^2 - d^2}$

Pavyzdys 6. Rutulio spindulys 10 cm. Plokštuma kerta rutulį 6 cm atstumu nuo centro. Koks pjūvio apskritimo spindulys?

$r_{\text{pj}} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

Pavyzdys 7. Rutulio spindulys 13 cm, pjūvio apskritimo spindulys 5 cm. Kokiu atstumu nuo centro yra plokštuma?

$d = \sqrt{r^2 - r_{\text{pj}}^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Ryšys tarp skersmens ir spindulio

Visose formulėse naudojamas spindulys $r$ . Jei duotas skersmuo $d$ , visada pirmiausia apskaičiuokite:

$r = \frac{d}{2}$

Pavyzdys 8. Rutulio skersmuo 20 cm. Raskite tūrį.

$r = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000}{3}\pi \approx 4188{,}8 \text{ cm}^3$

Sudėtinių kūnų uždaviniai

Dažnai reikia skaičiuoti kūnus, sudarytus iš kelių dalių.

Pavyzdys 9. Ledų indelis yra cilindro formos (spindulys 4 cm, aukštinė 10 cm), o ant viršaus pusrutulinis „kupolas" (spindulys 4 cm). Raskite bendrą tūrį.

Žingsnis 1: Cilindro tūris:

$V_{\text{cil}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi$

Žingsnis 2: Pusrutulio tūris:

$V_{\text{pusrut}} = \frac{2}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{128}{3}\pi$

Žingsnis 3: Bendras tūris:

$V = 160\pi + \frac{128}{3}\pi = \frac{480\pi + 128\pi}{3} = \frac{608}{3}\pi \approx 636{,}7 \text{ cm}^3$

Formulių santrauka

Dydis	Formulė
Sferos paviršiaus plotas	$S = 4\pi r^2$
Rutulio tūris	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Pusrutulio tūris	$V = \frac{2}{3}\pi r^3$
Pusrutulio pilnas plotas	$S = 3\pi r^2$
Pjūvio spindulys	$r_{\text{pj}} = \sqrt{r^2 - d^2}$

Savarankiško darbo užduotys

Rutulio spindulys 7 cm. Raskite sferos paviršiaus plotą ir rutulio tūrį.
Rutulio skersmuo 18 cm. Raskite tūrį.
Sferos paviršiaus plotas yra $256\pi$ cm². Raskite spindulį.
Rutulio tūris yra $288\pi$ cm³. Raskite spindulį.
Pusrutulio spindulys 10 cm. Raskite jo tūrį ir pilną paviršiaus plotą.
Rutulio spindulys 15 cm. Plokštuma kerta rutulį 9 cm atstumu nuo centro. Raskite pjūvio apskritimo spindulį.
Teniso kamuoliuko skersmuo 6,5 cm. Raskite jo tūrį.
Žemės spindulys apytiksliai 6371 km. Apskaičiuokite Žemės paviršiaus plotą (km²).
Pusrutulinis kupolas (pusrutulys) turi spindulį 8 m. Kiek kvadratinių metrų stiklo reikia kupolui (tik lenkta dalis, be pagrindo)?
Talpa sudaryta iš cilindro (spindulys 5 cm, aukštinė 20 cm) ir dviejų pusrutulių ant galų (spindulys 5 cm). Raskite bendrą tūrį.