Pitagoro teorema

Kas yra Pitagoro teorema?

Pitagoro teorema – viena svarbiausių geometrijos taisyklių. Ji galioja tik stačiajame trikampyje (trikampyje, kuriame vienas kampas lygus 90°).

Formuluotė: Stačiajame trikampyje įžambinės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai:

$a^2 + b^2 = c^2$

kur $a$ ir $b$ – statiniai (kraštinės prie stačiojo kampo), $c$ – įžambinė (ilgiausia kraštinė, priešais statųjį kampą).

Svarbu: Įžambinė visada yra ilgiausia kraštinė ir yra priešais 90° kampą.

Įžambinės radimas

Kai žinomos abi statinės, įžambinę randame:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Pavyzdys 1. Stačiojo trikampio statiniai yra 3 cm ir 4 cm. Raskite įžambinę.

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Pavyzdys 2. Statiniai yra 5 cm ir 12 cm. Raskite įžambinę.

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Statinio radimas

Kai žinoma įžambinė ir vienas statinis, kitą statinį randame:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Pavyzdys 3. Įžambinė lygi 10 cm, vienas statinis 6 cm. Raskite kitą statinį.

$a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

Pavyzdys 4. Įžambinė lygi 17 cm, vienas statinis 15 cm. Raskite kitą statinį.

$a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

Pitagoro skaičių trejetai

Yra specialūs skaičių rinkiniai, kurie tiksliai tenkina Pitagoro teoremą (be šaknų):

Statiniai	Įžambinė	Patikrinimas
3, 4	5	$9 + 16 = 25$ ✓
5, 12	13	$25 + 144 = 169$ ✓
8, 15	17	$64 + 225 = 289$ ✓
7, 24	25	$49 + 576 = 625$ ✓
6, 8	10	$36 + 64 = 100$ ✓

Patarimas: Jei padauginsime visus trejeto skaičius iš to paties skaičiaus, gauname naują trejetą. Pavyzdžiui, iš 3-4-5 gauname 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 ir t.t.

Kaip patikrinti, ar trikampis yra stačiasis?

Jei žinomos visos trys trikampio kraštinės, galime patikrinti:

Jei $a^2 + b^2 = c^2$ → stačiasis trikampis
Jei $a^2 + b^2 > c^2$ → smailusis trikampis
Jei $a^2 + b^2 < c^2$ → bukasis trikampis

(čia $c$ – ilgiausia kraštinė)

Pavyzdys 5. Trikampio kraštinės: 6, 8, 10. Ar trikampis stačiasis?

Ilgiausia kraštinė: $c = 10$ .

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$

Taip, trikampis stačiasis ✓

Pavyzdys 6. Trikampio kraštinės: 5, 6, 9. Ar trikampis stačiasis?

Ilgiausia kraštinė: $c = 9$ .

$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 81 = 9^2$

Ne, trikampis nėra stačiasis. Kadangi $61 < 81$ , tai bukasis trikampis.

Stačiakampio įstrižainė

Stačiakampio įstrižainė – tai stačiojo trikampio įžambinė:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Pavyzdys 7. Stačiakampio kraštinės 9 cm ir 12 cm. Raskite įstrižainę.

$d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$

Atstumas tarp dviejų taškų koordinačių plokštumoje

Turime du taškus $A(x_1, y_1)$ ir $B(x_2, y_2)$ . Atstumas tarp jų:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ši formulė kyla tiesiogiai iš Pitagoro teoremos: horizontalus atstumas ir vertikalus atstumas sudaro stačiojo trikampio statinius.

Pavyzdys 8. Raskite atstumą tarp taškų $A(1, 2)$ ir $B(4, 6)$ .

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Pavyzdys 9. Raskite atstumą tarp taškų $M(-3, 1)$ ir $N(5, -5)$ .

$d = \sqrt{(5-(-3))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Lygiašonis stačiasis trikampis

Lygiašonis stačiasis trikampis – stačiasis trikampis, kurio abu statiniai lygūs ( $a = b$ ). Jo kampai: 45°, 45°, 90°.

$c = a\sqrt{2}$

Pavyzdys 10. Lygiašonio stačiojo trikampio statinis 7 cm. Raskite įžambinę.

$c = 7\sqrt{2} \approx 7 \cdot 1{,}414 = 9{,}9 \text{ cm}$

Praktinis taikymas: kopėčios prie sienos

Kopėčios (ilgis $l$ ) atremtos į sieną. Kopėčių apačia nutolusi nuo sienos atstumu $a$ , kopėčios siekia aukštį $h$ .

$l^2 = a^2 + h^2$

Pavyzdys 11. 5 m ilgio kopėčios atremtos į sieną. Kopėčių apačia yra 3 m nuo sienos. Kokiame aukštyje kopėčios siekia sieną?

$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$

Savarankiško darbo užduotys

Stačiojo trikampio statiniai yra 9 cm ir 12 cm. Raskite įžambinę.
Stačiojo trikampio įžambinė 26 cm, vienas statinis 10 cm. Raskite kitą statinį.
Ar trikampis su kraštinėmis 7, 24, 25 yra stačiasis? Pagrįskite.
Stačiakampio kraštinės yra 5 cm ir 12 cm. Raskite įstrižainę.
Raskite atstumą tarp taškų $A(2, 3)$ ir $B(6, 6)$ .
Kopėčios yra 13 m ilgio. Jos remiasi į sieną 12 m aukštyje. Kokiu atstumu nuo sienos yra kopėčių apačia?
Lygiašonio stačiojo trikampio įžambinė 10 cm. Raskite statinį.
Kvadrato kraštinė yra 8 cm. Raskite jo įstrižainę.
Televizoriaus ekranas yra stačiakampio formos: 80 cm pločio ir 60 cm aukščio. Raskite ekrano įstrižainę.
Futbolo aikštė yra 100 m ilgio ir 70 m pločio. Koks atstumas iš vieno kampo į priešingą (per įstrižainę)?