Apskritimas ir skritulys

Pagrindinės sąvokos

Apskritimas – tai kreivė (linija), kurios visi taškai nutolę vienodu atstumu nuo centro.

Skritulys – tai plokštumos dalis, ribojama apskritimo (visa vidinė sritis kartu su apskritimu).

Paprastai tariant: apskritimas – tai „ratas" (linija), skritulys – tai „diskas" (visa sritis viduje).

Pagrindiniai elementai:

Centras $O$ – taškas, nuo kurio visi apskritimo taškai vienodai nutolę
Spindulys $r$ – atstumas nuo centro iki apskritimo taško
Skersmuo $d = 2r$ – ilgiausia atkarpa per centrą
Styga – atkarpa, jungianti du apskritimo taškus
Lankas – apskritimo dalis tarp dviejų taškų

Apskritimo ilgis

Apskritimo ilgis (perimetras) – tai visos apskritimo linijos ilgis:

$C = 2\pi r = \pi d$

kur $r$ – spindulys, $d$ – skersmuo, $\pi \approx 3{,}14$ .

Pavyzdys 1. Apskritimo spindulys 7 cm. Raskite apskritimo ilgį.

$C = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 14 \cdot 3{,}14 = 43{,}96 \text{ cm}$

Pavyzdys 2. Apskritimo skersmuo 20 cm. Raskite apskritimo ilgį.

$C = \pi \cdot 20 = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ cm}$

Skritulio plotas

$S = \pi r^2$

Pavyzdys 3. Skritulio spindulys 5 cm. Raskite plotą.

$S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5 \text{ cm}^2$

Pavyzdys 4. Skritulio skersmuo 12 cm. Raskite plotą.

Spindulys: $r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ cm.

$S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \approx 113{,}04 \text{ cm}^2$

Lanko ilgis

Lankas – tai apskritimo dalis. Jo ilgis priklauso nuo centrinio kampo $\alpha$ :

$l = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360°}$

Pavyzdys 5. Apskritimo spindulys 10 cm, centrinis kampas 90°. Raskite lanko ilgį.

$l = \frac{2\pi \cdot 10 \cdot 90°}{360°} = \frac{20\pi}{4} = 5\pi \approx 15{,}7 \text{ cm}$

Sektoriaus plotas

Sektorius – tai skritulio dalis, ribojama dviejų spindulių ir lanko (kaip „pyrago gabalėlis").

$S_{\text{sekt}} = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360°}$

Pavyzdys 6. Apskritimo spindulys 6 cm, sektoriaus kampas 60°. Raskite sektoriaus plotą.

$S_{\text{sekt}} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60°}{360°} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi \approx 18{,}84 \text{ cm}^2$

Centrinis ir įbrėžtinis kampas

Centrinis kampas – kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.

Įbrėžtinis kampas – kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo, o kraštinės kerta apskritimą.

Pagrindinė savybė: Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, paremto tuo pačiu lanku:

$\beta = \frac{\alpha}{2}$

Pavyzdys 7. Centrinis kampas yra 120°. Koks įbrėžtinis kampas, paremtas tuo pačiu lanku?

$\beta = \frac{120°}{2} = 60°$

Svarbu: Įbrėžtinis kampas, paremtas pusapskritimiu (skersmeniu), visada lygus 90°.

Liestinės savybės

Liestinė – tiesė, kuri liečia apskritimą tik viename taške.

Pagrindinės savybės:

Liestinė statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką
Iš vieno išorinio taško galima nubrėžti dvi liestines – jų atkarpos iki lietimosi taškų yra lygios

Pavyzdys 8. Iš taško $A$ nubrėžtos dvi liestinės prie apskritimo. Viena lietimosi atkarpa lygi 8 cm. Koks kitos lietimosi atkarpos ilgis?

Pagal savybę: kita atkarpa taip pat lygi 8 cm.

Stygos savybės

Ilgiausia styga – skersmuo
Skersmuo, statmenas stygai, dalija ją per pusę
Lygios stygos yra vienodai nutolusios nuo centro

Pagrindinių formulių santrauka

Dydis	Formulė
Apskritimo ilgis	$C = 2\pi r = \pi d$
Skritulio plotas	$S = \pi r^2$
Lanko ilgis	$l = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360°}$
Sektoriaus plotas	$S = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360°}$

Savarankiško darbo užduotys

Apskritimo spindulys 14 cm. Raskite apskritimo ilgį ir skritulio plotą.
Skritulio plotas yra $49\pi$ cm². Raskite spindulį ir apskritimo ilgį.
Dviračio rato skersmuo yra 70 cm. Kokį atstumą nuvažiuoja dviratis, kai ratas apsisuka 100 kartų?
Raskite 120° sektoriaus plotą, kai spindulys 9 cm.
Raskite lanko ilgį, kai spindulys 8 cm ir centrinis kampas 45°.
Centrinis kampas yra 140°. Koks atitinkamas įbrėžtinis kampas?
Apskritimo ilgis yra $30\pi$ cm. Raskite spindulį.
Fontano baseinas yra apvalus, skersmuo 6 m. Raskite baseino plotą ir aptvėrimo ilgį.
Picos plotas yra skritulio formos, spindulys 10 m. Kokia dalis ploto yra 90° sektoriuje?
Apskritimo spindulys 5 cm. Styga nutolusi nuo centro 3 cm. Raskite stygos ilgį. (Patarimas: naudokite Pitagoro teoremą.)