Diskriminantas

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kvadratinė lygtis – tai lygtis pavidalu:

ax² + bx + c = 0

kur a ≠ 0, o a, b, c yra skaičiai (koeficientai).

Pavyzdžiai:

x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
x² - 9 = 0 (a=1, b=0, c=-9)
3x² - 6x = 0 (a=3, b=-6, c=0)

Svarbu: Lygtis turi būti sutvarkyta – visi nariai perkelti į vieną pusę, kita pusė lygi 0.

Diskriminantas

Diskriminantas – tai skaičius, padedantis nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis.

Formulė:

D = b² - 4ac

Diskriminantą visada skaičiuojame pirmiausia – jis pasako, kiek šaknų turėsime.

Trijų atvejų taisyklė

Atvejis 1: D > 0

Lygtis turi dvi skirtingas realias šaknis.

Atvejis 2: D = 0

Lygtis turi vieną šaknį (dvi sutampančios šaknys).

Atvejis 3: D < 0

Lygtis neturi realių šaknų.

Šaknų radimo formulė

Kai D >= 0, šaknys randamos formulėmis:

x₁ = (-b + sqrt(D)) / (2a)

x₂ = (-b - sqrt(D)) / (2a)

Arba kompaktiškai: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a)

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1: x² - 5x + 6 = 0

Koeficientai: a = 1, b = -5, c = 6

Žingsnis 1: Skaičiuojame diskriminantą: D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1

D = 1 > 0 → dvi skirtingos šaknys

Žingsnis 2: Skaičiuojame šaknis: x₁ = (-(-5) + sqrt(1)) / (2·1) = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3

x₂ = (-(-5) - sqrt(1)) / (2·1) = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2

Atsakymas: x₁ = 3, x₂ = 2

Patikrinimas: 3² - 5·3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓ ir 2² - 5·2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓

Pavyzdys 2: 2x² - 4x + 2 = 0

Koeficientai: a = 2, b = -4, c = 2

Žingsnis 1: D = (-4)² - 4·2·2 = 16 - 16 = 0

D = 0 → viena šaknis

Žingsnis 2: x = (-(-4)) / (2·2) = 4/4 = 1

Atsakymas: x = 1 (dviguba šaknis)

Patikrinimas: 2·1² - 4·1 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0 ✓

Pavyzdys 3: x² + 2x + 5 = 0

Koeficientai: a = 1, b = 2, c = 5

Žingsnis 1: D = 2² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16

D = -16 < 0 → realių šaknų nėra

Atsakymas: Lygtis neturi realių šaknų.

Pavyzdys 4: 3x² + 7x - 6 = 0

Koeficientai: a = 3, b = 7, c = -6

Žingsnis 1: D = 7² - 4·3·(-6) = 49 + 72 = 121

D = 121 > 0 → dvi skirtingos šaknys. Pastebime: sqrt(121) = 11

Žingsnis 2: x₁ = (-7 + 11) / (2·3) = 4/6 = 2/3

x₂ = (-7 - 11) / (2·3) = -18/6 = -3

Atsakymas: x₁ = 2/3, x₂ = -3

Pavyzdys 5: x² - 4 = 0

Koeficientai: a = 1, b = 0, c = -4

Žingsnis 1: D = 0² - 4·1·(-4) = 0 + 16 = 16

sqrt(16) = 4

Žingsnis 2: x₁ = (0 + 4) / 2 = 2

x₂ = (0 - 4) / 2 = -2

Pastaba: Šią lygtį galima spręsti ir paprasčiau: x² = 4 → x = ±2

Pavyzdys 6: 2x² - 3x = 0

Koeficientai: a = 2, b = -3, c = 0

Žingsnis 1: D = (-3)² - 4·2·0 = 9 - 0 = 9

sqrt(9) = 3

Žingsnis 2: x₁ = (3 + 3) / 4 = 6/4 = 3/2

x₂ = (3 - 3) / 4 = 0/4 = 0

Pastaba: Kai c = 0, visada viena šaknis yra x = 0. Galima iškelti x: x(2x - 3) = 0 → x = 0 arba x = 3/2

Dažniausios klaidos

Klaida 1: Pamiršti minuso ženklą prieš b.

Formulėje x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) rašome -b, ne b.

Jei b = -5, tai -b = -(-5) = +5

Klaida 2: Skaičiuojant D = b² - 4ac, pamiršti kvadratinti visą b (su ženklu).

b = -5: b² = (-5)² = 25, ne -25

Klaida 3: Vardiklis yra 2a, ne 2.

Jei a = 3, vardiklis = 2·3 = 6, ne 2.

Klaida 4: Neatlikti galutinės patikros.

Įstatykite rastas šaknis į originalią lygtį – turėtų gauti 0.

Žingsnių santrauka

Sutvarkyti lygtį pavidalu ax² + bx + c = 0
Identifikuoti a, b, c
Apskaičiuoti D = b² - 4ac
Nustatyti, kiek šaknų: $D > 0$ (dvi), $D = 0$ (viena), $D < 0$ (nėra)
Jei $D \geq 0$ , apskaičiuoti $x_1$ ir $x_2$ pagal formulę
Patikrinti atsakymą

Savarankiško darbo užduotys

Raskite x² - 7x + 10 = 0 šaknis.
Raskite 4x² - 4x + 1 = 0 šaknis.
Nustatykite, kiek šaknų turi lygtis x² + x + 1 = 0.
Raskite 2x² - x - 3 = 0 šaknis.
Raskite x² - 6x + 9 = 0 šaknis.
Ar lygtis 3x² - 2x + 1 = 0 turi realių šaknų?
Raskite x² - 25 = 0 šaknis (naudokite diskriminantą).
Raskite 5x² + 3x - 2 = 0 šaknis.