Vijeto teorema

Vijeto teorema

Kas yra Vijeto teorema?

Vijeto teorema nusako ryšį tarp kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų.

Jei x₁ ir x₂ yra lygties ax² + bx + c = 0 šaknys, tai:

Šaknų suma: x₁ + x₂ = -b/a

Šaknų sandauga: x₁ · x₂ = c/a

Paprastas atvejis: a = 1

Kai lygtis pavidalu x² + px + q = 0 (a = 1), formulės supaprastėja:

x₁ + x₂ = -p

x₁ · x₂ = q

---

Pavyzdys 1: Patikrinimas naudojant Vijeto teoremą

Lygtis x² - 5x + 6 = 0. Šaknys x₁ = 3, x₂ = 2.

Koeficientai: a = 1, b = -5, c = 6

Patikrinimas pagal Vijeto:

x₁ + x₂ = 3 + 2 = 5 ir -b/a = -(-5)/1 = 5 ✓

x₁ · x₂ = 3 · 2 = 6 ir c/a = 6/1 = 6 ✓

Vijeto teorema patvirtina, kad šaknys teisingos!

---

Pavyzdys 2: Šaknų patikrinimas

Lygtis 2x² + 3x - 2 = 0. Ar x₁ = 1/2 ir x₂ = -2 yra šaknys?

Koeficientai: a = 2, b = 3, c = -2

Vijeto tikrinimas:

Suma: x₁ + x₂ = 1/2 + (-2) = 1/2 - 2 = -3/2 ir -b/a = -3/2 ✓

Sandauga: x₁ · x₂ = (1/2) · (-2) = -1 ir c/a = -2/2 = -1 ✓

Taip, šaknys teisingos!

---

Vijeto teorema kaip greitas patikrinimo būdas

Vijeto teorema leidžia greitai patikrinti rastų šaknų teisingumą neįstatant jų į lygtį.

Pavyzdys 3

Raskite lygties x² - 7x + 12 = 0 šaknis ir patikrinkite pagal Vijeto teoremą.

Radimas diskriminantu:

a = 1, b = -7, c = 12

D = (-7)² - 4·1·12 = 49 - 48 = 1

sqrt(D) = 1

x₁ = (7 + 1)/2 = 4, x₂ = (7 - 1)/2 = 3

Vijeto patikrinimas:

Suma: 4 + 3 = 7 = -(-7)/1 ✓

Sandauga: 4 · 3 = 12 = 12/1 ✓

---

Lygties sudarymas pagal šaknis

Jei žinome šaknis x₁ ir x₂, galime sudaryti kvadratinę lygtį (su a = 1):

x² - (x₁ + x₂)·x + x₁·x₂ = 0

Pavyzdys 4

Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra x₁ = 5 ir x₂ = -3.

Suma: x₁ + x₂ = 5 + (-3) = 2

Sandauga: x₁ · x₂ = 5 · (-3) = -15

Lygtis: x² - 2x + (-15) = 0, t.y. x² - 2x - 15 = 0

Patikrinimas: Diskriminantas D = 4 + 60 = 64, sqrt(64) = 8

x₁ = (2 + 8)/2 = 5 ✓, x₂ = (2 - 8)/2 = -3 ✓

---

Pavyzdys 5

Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra x₁ = 1/2 ir x₂ = 4.

Suma: 1/2 + 4 = 9/2

Sandauga: (1/2) · 4 = 2

Lygtis: x² - (9/2)x + 2 = 0

Padauginkime iš 2, kad pašalintume trupmeną: 2x² - 9x + 4 = 0

---

Pavyzdys 6

Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra x₁ = -2 ir x₂ = -7.

Suma: -2 + (-7) = -9

Sandauga: (-2) · (-7) = 14

Lygtis: x² - (-9)x + 14 = 0, t.y. x² + 9x + 14 = 0

---

Vijeto teoremos taikymas – nerenkant šaknų

Kartais uždaviniuose reikia rasti šaknų sumą ar sandaugą, nenustačius pačių šaknų.

Pavyzdys 7

Kvadratinės lygties 3x² - 7x + 4 = 0 šaknys x₁ ir x₂. Raskite: a) x₁ + x₂ b) x₁ · x₂ c) x₁² + x₂²

Vijeto: x₁ + x₂ = 7/3, x₁ · x₂ = 4/3

a) x₁ + x₂ = 7/3

b) x₁ · x₂ = 4/3

c) x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2·x₁·x₂ = (7/3)² - 2·(4/3) = 49/9 - 8/3 = 49/9 - 24/9 = 25/9

---

Pavyzdys 8

Lygties x² + bx + 12 = 0 šaknų sandauga yra 12. Viena šaknis yra x₁ = 3. Raskite antrą šaknį ir parametrą b.

x₁ · x₂ = 12 → 3 · x₂ = 12 → x₂ = 4

x₁ + x₂ = -b/1 → 3 + 4 = -b → b = -7

Lygtis: x² - 7x + 12 = 0

---

Vijeto teoremos apibendrinimas

Praktinis patarimas: Prieš skaičiuodami diskriminantą, visada patikrinkite, ar lengva atspėti šaknis pagal Vijeto teoremą (ypač kai a = 1 ir c mažas skaičius).

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Lygties x² - 8x + 15 = 0 šaknys x₁ = 3, x₂ = 5. Patikrinkite pagal Vijeto teoremą.
2. Sudarykite lygtį, kurios šaknys x₁ = 4 ir x₂ = -1.
3. Sudarykite lygtį, kurios šaknys x₁ = -3 ir x₂ = -5.
4. Lygties 2x² - 5x + 2 = 0 šaknys x₁ ir x₂. Raskite x₁ + x₂ ir x₁ · x₂.
5. Viena lygties x² + px + 6 = 0 šaknis yra x₁ = 2. Raskite antrą šaknį ir parametrą p.
6. Lygties x² + 6x + c = 0 šaknų sandauga lygi 8. Raskite c ir šaknis.
7. Raskite x₁² + x₂² lygčiai x² - 4x + 1 = 0 (nenaudodami diskriminanto).
8. Sudarykite lygtį, kurios šaknys lygia 1/2 ir 3/4.