Kvadratinės nelygybės
Kas yra kvadratinė nelygybė?
Kvadratinė nelygybė – tai nelygybė pavidalu:
kur .
Grafiko metodas
Geriausia kvadratines nelygybes spręsti grafiko (parabolės) metodu. Jis aiškus ir patikimas.
Idėja:
Funkcija f(x) = ax² + bx + c yra parabolė.
- Kai a > 0: parabolė atidaryta aukštyn (kaip U)
- Kai a < 0: parabolė atidaryta žemyn (kaip ∩)
Parabolė kerta Ox ašį šaknų taškuose (x₁ ir x₂, kur x₁ < x₂).
Pagrindinės taisyklės (kai D > 0)
Kai a > 0 (parabolė atidaryta aukštyn):
- ax² + bx + c > 0 (virš Ox ašies): sprendinys x < x₁ arba x > x₂
- ax² + bx + c < 0 (žemiau Ox ašies): sprendinys x₁ < x < x₂
Kai a < 0 (parabolė atidaryta žemyn):
- ax² + bx + c > 0 (virš Ox ašies): sprendinys x₁ < x < x₂
- ax² + bx + c < 0 (žemiau Ox ašies): sprendinys x < x₁ arba x > x₂
Atmintinė: Kai a > 0, parabolė viduryje (tarp šaknų) yra žemiau Ox ašies.
Žingsniai sprendžiant
- Suraskite šaknis x₁ ir x₂ (naudodami diskriminantą)
- Nustatykite, koks a ženklas (parabolė aukštyn ar žemyn)
- Pagal taisyklę nustatykite sprendinio intervalą
- Užrašykite atsakymą
Pavyzdys 1: x² - 5x + 6 > 0
Žingsnis 1: Randame šaknis.
a = 1, b = -5, c = 6
D = 25 - 24 = 1, sqrt(D) = 1
x₁ = (5 - 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3
Žingsnis 2: a = 1 > 0, parabolė atidaryta aukštyn.
Žingsnis 3: f(x) > 0 (virš Ox ašies). Kai a > 0, tai už šaknų ribų: x < 2 arba x > 3.
Atsakymas: x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞) arba x < 2 arba x > 3
Patikrinimas: Paimkite x = 0: 0 - 0 + 6 = 6 > 0 ✓ (x = 0 yra kairėje nuo šaknų)
Pavyzdys 2: x² - 5x + 6 < 0
Ta pati parabolė, bet ieškome, kur ji žemiau Ox ašies.
Šaknys tos pačios: x₁ = 2, x₂ = 3
Kai a > 0, parabolė žemiau Ox ašies tarp šaknų.
Atsakymas: x ∈ (2; 3) arba 2 < x < 3
Patikrinimas: x = 2,5: (2,5)² - 5·2,5 + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0 ✓
Pavyzdys 3: -x² + 4x - 3 > 0
Žingsnis 1: Randame šaknis.
a = -1, b = 4, c = -3
D = 16 - 12 = 4, sqrt(D) = 2
x₁ = (-4 - 2)/(2·(-1)) = -6/(-2) = 3, x₂ = (-4 + 2)/(-2) = -2/(-2) = 1
Tvarkome: x₁ = 1, x₂ = 3 (mažesnis pirmas)
Žingsnis 2: a = -1 < 0, parabolė atidaryta žemyn.
Žingsnis 3: f(x) > 0 (virš Ox ašies). Kai a < 0, tai tarp šaknų.
Atsakymas: x ∈ (1; 3) arba 1 < x < 3
Patikrinimas: x = 2: -(4) + 8 - 3 = 1 > 0 ✓
Pavyzdys 4: 2x² - x - 3 ≤ 0
Žingsnis 1: Randame šaknis.
a = 2, b = -1, c = -3
D = 1 + 24 = 25, sqrt(D) = 5
x₁ = (1 - 5)/4 = -4/4 = -1, x₂ = (1 + 5)/4 = 6/4 = 3/2
Žingsnis 2: a = 2 > 0, parabolė atidaryta aukštyn.
Žingsnis 3: f(x) ≤ 0 – parabolė žemiau arba ant Ox ašies. Kai a > 0, tai tarp šaknų (ir šaknuose, nes ≤ 0).
Atsakymas: x ∈ [-1; 3/2] arba -1 ≤ x ≤ 3/2
Ypatingi atvejai
Kai D = 0 (viena šaknis x₀)
Kai a > 0: ax² + bx + c ≥ 0 visada (ties x₀ lygu 0).
Kai a > 0: ax² + bx + c ≤ 0 tik x = x₀.
Kai D < 0 (šaknų nėra)
Kai a > 0: f(x) > 0 visoms x reikšmėms (parabolė visada virš Ox ašies).
Kai a < 0: f(x) < 0 visoms x reikšmėms.
Pavyzdys 5: x² + 2x + 5 > 0
D = 4 - 20 = -16 < 0. Šaknų nėra.
a = 1 > 0, parabolė visada virš Ox ašies.
Atsakymas: Nelygybė teisinga visoms x reikšmėms, t.y. x ∈ (-∞; +∞).
Sprendinio užrašymo būdai
Sprendinį galima užrašyti keliais būdais:
- Intervaline forma: x ∈ (2; 5) reiškia 2 < x < 5 (šaknys neįeina)
- Intervaline forma: x ∈ [2; 5] reiškia 2 ≤ x ≤ 5 (šaknys įeina, kai nelygybė su lygybe)
- Nelygybės forma: x < 2 arba x > 5
- Skaičių tiesėje: pažymėti intervalą su tuščiais arba užpildytais taškais
Lentelė – sprendinio intervalai
| Sąlyga | Nelygybė | Atsakymas (a > 0) |
|---|---|---|
| D > 0, šaknys x₁ < x₂ | f(x) < 0 | x₁ < x < x₂ |
| D > 0, šaknys x₁ < x₂ | f(x) > 0 | x < x₁ arba x > x₂ |
| D = 0, šaknis x₀ | f(x) ≥ 0 | visos x |
| D < 0 | f(x) > 0 | visos x |
| D < 0 | f(x) < 0 | sprendinių nėra |
Savarankiško darbo užduotys
- Išspręskite nelygybę: x² - 4 > 0
- Išspręskite nelygybę: x² - 4x + 3 < 0
- Išspręskite nelygybę: x² + 6x + 9 ≥ 0
- Išspręskite nelygybę: -x² + 2x + 3 > 0
- Išspręskite nelygybę: 2x² - 7x + 3 ≤ 0
- Ar nelygybė x² + x + 1 > 0 turi sprendinių? Pagrįskite.
- Išspręskite nelygybę: x² - 3x ≥ 0 (patarimas: c = 0, viena šaknis yra 0)
- Kiekvienam x raskite, kurioms x reikšmėms f(x) = x² - 4x + 5 teigiama.