Santykiai ir proporcijos

Santykiai ir proporcijos

Kas yra santykis?

Santykis – tai dviejų skaičių padalijimas. Santykis a ir b rašomas:

a : b = a/b

Santykis parodo, kiek kartų vienas skaičius didesnis (arba mažesnis) už kitą.

Pavyzdys 1

Klasėje 12 berniukų ir 18 mergaičių. Berniukų ir mergaičių santykis:

12 : 18 = 12/18 = 2/3

Taigi berniukų santykis su mergaitėmis yra 2 : 3 (supaprastinome padalydami abu skaičius iš 6).

Kaip supaprastinti santykį?

Dalinkite abu skaičius iš jų didžiausio bendrojo daliklio (DBD).

Pavyzdžiai:

• 10 : 15 = 2 : 3 (dalinome iš 5)
• 24 : 36 = 2 : 3 (dalinome iš 12)
• 9 : 12 = 3 : 4 (dalinome iš 3)

Santykis kaip procentas

Santykį galima išreikšti procentu:

2 : 3 = 2/3 = 0,667 = 66,7%

---

Kas yra proporcija?

Proporcija – tai lygybė, rodanti, kad du santykiai yra lygūs:

a : b = c : d arba a/b = c/d

Pagrindinė proporcijų savybė:

Jei a : b = c : d, tai a · d = b · c

(kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai)

Pavyzdys 2

Patikrinkite, ar 3 : 4 = 9 : 12 yra proporcija.

3 × 12 = 36 ir 4 × 9 = 36. Taip, tai proporcija.

Pavyzdys 3

Patikrinkite, ar 2 : 5 = 4 : 9 yra proporcija.

2 × 9 = 18 ir 5 × 4 = 20. 18 ≠ 20, tai nėra proporcija.

---

Nežinomojo radimas iš proporcijos

Jei proporcijoje nežinomas vienas narys, naudojame pagrindinę savybę.

Pavyzdys 4

Raskite x: 3 : x = 6 : 10

Pagrindinė savybė: 3 × 10 = x × 6

30 = 6x

x = 30 / 6 = 5

Pavyzdys 5

Raskite x: x : 8 = 5 : 4

x × 4 = 8 × 5

4x = 40

x = 10

Pavyzdys 6 (praktinis)

Recepte 4 porcijoms reikia 300 g miltų. Kiek reikės miltų 10 porcijų?

4 : 300 = 10 : x

4x = 300 × 10

4x = 3000

x = 750 g

---

Tiesioginė proporcija

Dvi kintamosios y ir x tiesiogiai proporcingos, jei:

y = k · x (k – proporcingumo koeficientas, k ≠ 0)

Savybė: Jei x didėja, tai y taip pat didėja. Jei x mažėja, y taip pat mažėja.

Santykis y/x visada yra pastovus: y/x = k

Kaip atpažinti tiesioginę proporciją?

Jei y₁/x₁ = y₂/x₂ – tai tiesioginė proporcija.

Pavyzdys 7

Automobilis per 2 valandas nuvažiuoja 120 km. Kiek nuvažiuos per 5 valandas (ta pačia greičiu)?

Tai tiesioginė proporcija (daugiau laiko → daugiau kilometrų):

2 : 120 = 5 : x

2x = 120 × 5

2x = 600

x = 300 km

Pavyzdys 8

Kaina ir kiekis – tiesioginė proporcija:

1 kg obuolių kainuoja 2,50 €. Kiek kainuos 3,5 kg?

k = 2,50 (kaina už 1 kg)

y = 2,50 × 3,5 = 8,75 €

---

Atvirkštinė proporcija

Dvi kintamosios y ir x atvirkščiai proporcingos, jei:

y = k / x arba x · y = k (k – pastovus skaičius)

Savybė: Jei x didėja, tai y mažėja. Jei x mažėja, y didėja.

Sandauga x · y visada yra pastovus: x₁ · y₁ = x₂ · y₂

Kaip atpažinti atvirkštinę proporciją?

Jei x₁ · y₁ = x₂ · y₂ – tai atvirkštinė proporcija.

Pavyzdys 9

4 darbininkai tą patį darbą atlieka per 6 dienas. Per kiek dienų jį atliktų 8 darbininkai?

Tai atvirkštinė proporcija (daugiau darbininkų → mažiau dienų):

4 × 6 = 8 × x

24 = 8x

x = 3 dienos

Pavyzdys 10

Automobilis važiuodamas 60 km/h greičiu kelią nuvažiuoja per 4 valandas. Per kiek laiko nuvažiuos tą patį kelią 80 km/h greičiu?

60 × 4 = 80 × x

240 = 80x

x = 3 valandos

---

Tiesioginė vs. atvirkštinė proporcija

Patarimas: Prieš sprendžiant, pagalvokite – ar x didėjant y didėja (tiesioginė) ar mažėja (atvirkštinė)?

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Supaprastinkite santykį: 24 : 32
2. Raskite x: 5 : x = 15 : 9
3. Raskite x: x : 6 = 4 : 3
4. Ar 2 : 7 = 6 : 21 yra proporcija?
5. 3 sąsiuviniai kainuoja 2,70 €. Kiek kainuos 7 sąsiuviniai?
6. 5 katės per 5 dienas suvalgo 5 kg maisto. Kiek maisto suvalgo 3 katės per 3 dienas?
7. Automobilis nuvažiuoja kelią per 3 val. važiuodamas 80 km/h greičiu. Per kiek laiko nuvažiuos tą patį kelią 60 km/h greičiu?
8. Padalinkite 180 € santykiu 2 : 3 : 4 (tarp trijų žmonių).