Duomenų apibendrinimas

Duomenų tipai

Statistikoje duomenis skirstome į dvi pagrindines grupes:

Kategoriniai (kokybiniai) duomenys – apibūdina savybę, kurią galima įvardyti, bet ne išmatuoti skaičiumi:

Mėgstama spalva: raudona, mėlyna, žalia
Lytis: vyras, moteris
Transporto priemonė: autobusas, automobilis, dviratis

Skaitiniai (kiekybiniai) duomenys – išreiškiami skaičiais, juos galima sudėti, atimti, palyginti:

Ūgis: 165 cm, 172 cm, 180 cm
Matematikos pažymys: 4, 7, 9, 10
Temperatūra: $-5°$ C, $12°$ C, $25°$ C

Skaitiniai duomenys dar skirstomi į:

Diskrečiuosius – tik tam tikros reikšmės (pvz., mokinių skaičius: 25, 26, 27)
Tolydžiuosius – bet kokia reikšmė iš intervalo (pvz., ūgis: 165,3 cm, 170,8 cm)

Dažnių lentelė

Dažnis – kiek kartų tam tikra reikšmė pasikartoja duomenų rinkinyje.

Tarkime, 20 mokinių gavo tokius matematikos pažymius:

$7,\; 8,\; 5,\; 9,\; 7,\; 6,\; 8,\; 7,\; 10,\; 8,\; 6,\; 7,\; 9,\; 5,\; 8,\; 7,\; 6,\; 9,\; 8,\; 7$

Sudarome dažnių lentelę:

Pažymys	Absoliutinis dažnis $f$	Santykinis dažnis $\frac{f}{n}$	Santykinis dažnis (%)
5	2	$\frac{2}{20} = 0{,}10$	10%
6	3	$\frac{3}{20} = 0{,}15$	15%
7	6	$\frac{6}{20} = 0{,}30$	30%
8	5	$\frac{5}{20} = 0{,}25$	25%
9	3	$\frac{3}{20} = 0{,}15$	15%
10	1	$\frac{1}{20} = 0{,}05$	5%
Iš viso	20	1,00	100%

Absoliutinis dažnis $f$ – kiek kartų reikšmė pasikartoja.
Santykinis dažnis – absoliutinis dažnis, padalytas iš bendro duomenų skaičiaus $n$ :

$\text{Santykinis dažnis} = \frac{f}{n}$

Visų santykinių dažnių suma visada lygi 1 (arba 100%).

Sukauptinis dažnis

Sukauptinis dažnis – parodo, kiek duomenų yra mažesni arba lygūs tam tikrai reikšmei. Kiekviena eilutė pridedama prie ankstesnės.

Pažymys	Dažnis $f$	Sukauptinis dažnis
5	2	2
6	3	2 + 3 = 5
7	6	5 + 6 = 11
8	5	11 + 5 = 16
9	3	16 + 3 = 19
10	1	19 + 1 = 20

Iš lentelės matome: 11 mokinių (iš 20) gavo pažymį 7 arba mažesnį.

Stulpelinė diagrama

Stulpelinė diagrama naudojama vaizduoti kategoriniams arba diskretiesiems duomenims. Kiekvienas stulpelis atitinka vieną reikšmę, o stulpelio aukštis – tos reikšmės dažnį.

Pavyzdys 1. Klasėje 30 mokinių paklausė, kokiu transportu atvyksta į mokyklą:

Transportas	Mokinių skaičius
Pėsčiomis	8
Autobusu	12
Automobiliu	6
Dviračiu	4

Stulpelinėje diagramoje kiekvienas transporto tipas turėtų po vieną stulpelį, o aukštis atitinkamai 8, 12, 6, 4. Stulpeliai neliečia vienas kito.

Kaip skaityti: Aukščiausias stulpelis rodo populiariausią pasirinkimą – šiuo atveju „Autobusu" (12 mokinių).

Skritulinė (apskritimo) diagrama

Skritulinė diagrama rodo kiekvienos dalies santykį su visuma. Visas skritulys = 100% = $360°$ .

Kiekvienos dalies kampas:

$\text{Kampas} = \frac{f}{n} \cdot 360°$

Pavyzdys 2. Naudojame tuos pačius transporto duomenis ( $n = 30$ ):

Transportas	$f$	Santykinis dažnis	Kampas
Pėsčiomis	8	$\frac{8}{30} \approx 0{,}27$	$0{,}27 \cdot 360° = 96°$
Autobusu	12	$\frac{12}{30} = 0{,}40$	$0{,}40 \cdot 360° = 144°$
Automobiliu	6	$\frac{6}{30} = 0{,}20$	$0{,}20 \cdot 360° = 72°$
Dviračiu	4	$\frac{4}{30} \approx 0{,}13$	$0{,}13 \cdot 360° = 48°$

Patikrinimas: $96° + 144° + 72° + 48° = 360°$ ✓

Duomenų grupavimas intervalais

Kai duomenys yra tolydūs arba jų labai daug, patogu sugrupuoti į intervalus (klases).

Pavyzdys 3. 25 mokinių ūgiai (cm):

$155,\; 160,\; 162,\; 158,\; 170,\; 175,\; 168,\; 172,\; 165,\; 180,\; 163,\; 177,\; 169,\; 174,\; 156,$ $182,\; 167,\; 171,\; 164,\; 178,\; 159,\; 173,\; 166,\; 176,\; 161$

Žingsnis 1. Randame skirtumą: $x_{\max} - x_{\min} = 182 - 155 = 27$ cm.

Žingsnis 2. Pasirenkame intervalų plotį, pvz., 5 cm (kad būtų 5–6 intervalų):

Intervalas (cm)	Dažnis $f$
[155; 160)	4
[160; 165)	5
[165; 170)	5
[170; 175)	5
[175; 180)	4
[180; 185)	2
Iš viso	25

Pastaba: $[155; 160)$ reiškia nuo 155 (įskaitant) iki 160 (neįskaitant).

Histograma

Histograma – tai stulpelinė diagrama sugrupuotiems duomenims. Skirtumas nuo paprastos stulpelinės diagramos: stulpeliai liečiasi vienas su kitu, nes intervalai neturi tarpų.

Naudodami ūgių lentelę (Pavyzdys 3), braižome histogramą: horizontalioje ašyje – intervalai (155–160, 160–165, ...), vertikalioje ašyje – dažniai.

Kaip skaityti histogramą:

Aukščiausias stulpelis rodo populiariausią intervalą
Stulpelių plotas (ne tik aukštis) parodo duomenų dalį, kai intervalai vienodo pločio – pakanka žiūrėti tik aukštį
Galima matyti duomenų pasiskirstymo formą: ar duomenys susitelkę centre, ar pasisklaidę tolygiai

Diagramų interpretavimas

Skaitydami bet kokią diagramą, atkreipkite dėmesį į:

Pavadinimą – ką vaizduoja diagrama
Ašių pavadinimus – kas matuojama horizontaliai ir vertikaliai
Mastelį – ar ašis prasideda nuo 0? Jei ne, tai gali klaidinti
Didžiausią / mažiausią reikšmę – kuri kategorija dominuoja
Tendencijas – ar reikšmės didėja, mažėja, svyruoja

Pavyzdys 4. Lentelė rodo moksleivių pomėgius:

Pomėgis	Mokinių skaičius
Sportas	15
Muzika	10
Žaidimai	8
Skaitymas	5
Kita	2

Iš šios lentelės galime pasakyti:

Populiariausias pomėgis – sportas (15 mokinių iš 40, t. y. $\frac{15}{40} = 37{,}5\%$ )
Rečiausias – „Kita" (tik 5%)
Sportas ir muzika kartu sudaro $\frac{25}{40} = 62{,}5\%$ visų mokinių

Pavyzdys 5 – visas sprendimas

Parduotuvėje per savaitę parduota tokių dydžių batų:

$38,\; 40,\; 42,\; 39,\; 41,\; 42,\; 40,\; 38,\; 43,\; 40,\; 41,\; 42,\; 40,\; 39,\; 42,$ $41,\; 40,\; 43,\; 38,\; 42$

a) Sudarykite dažnių lentelę.

Dydis	Absoliutinis dažnis $f$	Santykinis dažnis
38	3	$\frac{3}{20} = 0{,}15$
39	2	$\frac{2}{20} = 0{,}10$
40	5	$\frac{5}{20} = 0{,}25$
41	3	$\frac{3}{20} = 0{,}15$
42	5	$\frac{5}{20} = 0{,}25$
43	2	$\frac{2}{20} = 0{,}10$
Iš viso	20	1,00

b) Kokį dydį pirko dažniausiai? – 40 ir 42 dydžius (po 5 kartus).

c) Kokia dalis pirko 41 ar didesnį dydį? – $(3 + 5 + 2)/20 = 10/20 = 50\%$ .

Savarankiško darbo užduotys

Klasėje 25 mokiniai įvertino filmą pažymiais nuo 1 iki 5. Rezultatai: $3, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 5, 4, 3$ . Sudarykite dažnių lentelę su absoliutiniais ir santykiniais dažniais.
Naudodami 1 užduoties duomenis, apskaičiuokite sukauptinius dažnius ir nurodykite, kiek mokinių įvertino filmą 4 arba mažiau.
Apklausoje 50 žmonių nurodė mėgstamiausią sporto šaką: krepšinis – 18, futbolas – 14, tinklinis – 8, plaukimas – 6, kita – 4. Apskaičiuokite kiekvienos dalies kampą skritulinei diagramai.
Parduotuvėje per dieną parduota tokių obuolių kiekių (kg): $12, 8, 15, 20, 11, 9, 17, 14, 22, 10, 13, 18, 16, 7, 21, 19, 10, 14, 23, 12$ . Sugrupuokite duomenis intervalais [7; 11), [11; 15), [15; 19), [19; 23] ir sudarykite dažnių lentelę.
Mokyklos valgykloje per savaitę pietavo toks mokinių skaičius: pirmadienis – 120, antradienis – 135, trečiadienis – 140, ketvirtadienis – 125, penktadienis – 80. Kurią dieną pietautojų buvo daugiausiai? Kokia dalis visų pietautojų valgė penktadienį?
Histogramoje pavaizduoti mokinių testų rezultatai intervalais: [0; 20) – 3 mokiniai, [20; 40) – 7, [40; 60) – 12, [60; 80) – 10, [80; 100] – 8. Kiek iš viso mokinių rašė testą? Kokia dalis gavo 60 ir daugiau balų?
Iš 200 apklaustų žmonių 70 rinkosi kavą, 55 – arbatą, 40 – vandenį, 20 – sultis, 15 – kita. Apskaičiuokite kiekvieno pasirinkimo santykinį dažnį procentais.
Automobilio greičio matavimai (km/h) ties mokykla per valandą: $32, 45, 38, 50, 41, 35, 48, 55, 40, 37, 42, 60, 33, 47, 39$ . Sugrupuokite intervalais [30; 40), [40; 50), [50; 60] ir sudarykite dažnių lentelę. Kokia dalis vairuotojų viršijo 50 km/h?
Klasėje 30 mokinių paklausė, kiek valandų per dieną jie naudojasi telefonu. Rezultatai: [0; 1) – 2, [1; 2) – 5, [2; 3) – 9, [3; 4) – 8, [4; 5) – 4, [5; 6] – 2. Apskaičiuokite santykinius dažnius ir nurodykite, kokia dalis mokinių naudojasi telefonu 3 ir daugiau valandų.
Duoti duomenys apie 40 mokinių sportavimo dažnumą per savaitę: niekada – 5, 1–2 kartus – 12, 3–4 kartus – 15, 5 ir daugiau – 8. Apskaičiuokite santykinius dažnius ir skritulinės diagramos kampus kiekvienai grupei.