Vidurkis, mediana ir moda

Vidurkis, mediana ir moda

Aritmetinis vidurkis

Aritmetinis vidurkis $\bar{x}$ – tai visų reikšmių suma, padalyta iš reikšmių skaičiaus:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Pavyzdys 1. Mokinys per penkis testus gavo pažymius: 7, 8, 6, 9, 5. Raskite vidurkį.

$\bar{x} = \frac{7 + 8 + 6 + 9 + 5}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Pavyzdys 2. Šešių draugų amžius: 17, 17, 18, 16, 17, 19. Raskite vidurkį.

$\bar{x} = \frac{17 + 17 + 18 + 16 + 17 + 19}{6} = \frac{104}{6} \approx 17{,}3$

---

Svertinis vidurkis

Kai kurios reikšmės pasikartoja – tuomet patogu naudoti svertinį vidurkį:

$\bar{x} = \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \ldots + x_k \cdot f_k}{f_1 + f_2 + \ldots + f_k} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f_i}$

čia $f_i$ – kiekvienos reikšmės dažnis (svoris).

Pavyzdys 3. Klasės matematikos pažymiai:

$\bar{x} = \frac{223}{30} \approx 7{,}43$

---

Mediana

Mediana $Me$ – tai vidurinė reikšmė, kai duomenys surikiuoti didėjimo tvarka. Mediana dalija duomenis į dvi lygias dalis.

Kai duomenų skaičius $n$ nelyginis: mediana yra $\frac{n+1}{2}$-oji reikšmė.

Kai $n$ lyginis: mediana yra dviejų vidurinių reikšmių vidurkis:

$Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

Pavyzdys 4. Duomenys (jau surikiuoti): 3, 5, 7, 8, 12 ($n = 5$, nelyginis).

Vidurinė reikšmė: $\frac{5+1}{2} = 3$-ioji → $Me = 7$

Pavyzdys 5. Duomenys: 4, 6, 7, 9, 10, 15 ($n = 6$, lyginis).

Vidurinės reikšmės: 3-ioji ir 4-oji → $7$ ir $9$.

$Me = \frac{7 + 9}{2} = 8$

Pavyzdys 6. Aštuonių mokinių ūgiai (cm): 158, 162, 165, 168, 170, 174, 177, 183.

$n = 8$ (lyginis). Vidurinės reikšmės: 4-oji ($168$) ir 5-oji ($170$).

$Me = \frac{168 + 170}{2} = 169 \text{ cm}$

---

Moda

Moda $Mo$ – tai dažniausiai pasikartojanti reikšmė.

• Duomenų rinkinys gali turėti vieną modą, kelias modas arba neturėti modos (jei visos reikšmės skirtingos).

Pavyzdys 7. Pažymiai: 5, 7, 7, 8, 7, 9, 10. Moda: $Mo = 7$ (pasikartoja 3 kartus).

Pavyzdys 8. Batų dydžiai: 38, 40, 40, 42, 42, 43. Dvi modos: $Mo = 40$ ir $Mo = 42$ (po 2 kartus).

Pavyzdys 9. Skaičiai: 3, 5, 7, 9, 11. Modos nėra – visos reikšmės skirtingos.

---

Sklaidos matas: variacijos plotis

Variacijos plotis (imties plotis) $R$ – tai skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios reikšmės:

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Pavyzdys 10. Temperatūros per savaitę (°C): $-3, 0, 2, 5, 1, -1, 4$.

$R = 5 - (-3) = 8°\text{C}$

Kuo didesnis variacijos plotis, tuo labiau duomenys pasisklaidę.

---

Kada naudoti vidurkį, medianą ar modą?

Pavyzdys 11. Išskirčių įtaka.

Penkių darbuotojų atlyginimai (€): 800, 900, 850, 950, 5000.

• Vidurkis: $\bar{x} = \frac{800 + 900 + 850 + 950 + 5000}{5} = \frac{8500}{5} = 1700$ €
• Mediana: surikiuojame $800, 850, 900, 950, 5000$ → $Me = 900$ €

Vidurkis (1700 €) neatspindi daugumos darbuotojų – jį stipriai pakėlė viena didelė reikšmė (5000 €). Mediana (900 €) geriau apibūdina „tipišką" atlyginimą.

---

Vidurkio skaičiavimas iš dažnių lentelės

Kai duomenys pateikti dažnių lentelėje, naudojame svertinį vidurkį.

Pavyzdys 12. Mokinių kontrolinio darbo rezultatai:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 6 + 7 \cdot 4}{2 + 5 + 8 + 6 + 4} = \frac{6 + 20 + 40 + 36 + 28}{25} = \frac{130}{25} = 5{,}2$

---

Kvartiliai

Kvartiliai dalija surikiuotus duomenis į keturias lygias dalis:

• $Q_1$ (pirmasis kvartilis) – 25% duomenų yra mažesni
• $Q_2$ (antrasis kvartilis) – tai mediana (50%)
• $Q_3$ (trečiasis kvartilis) – 75% duomenų yra mažesni

Kaip rasti kvartilius:

1. Surikiuokite duomenis didėjimo tvarka
2. Raskite medianą ($Q_2$) – ji dalija duomenis į dvi puses
3. $Q_1$ – apatinės pusės mediana
4. $Q_3$ – viršutinės pusės mediana

Pavyzdys 13. Duomenys (12 reikšmių): $2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20$.

$n = 12$, mediana $Q_2 = \frac{9 + 10}{2} = 9{,}5$

Apatinė pusė: $2, 4, 5, 7, 8, 9$ → $Q_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$

Viršutinė pusė: $10, 12, 14, 15, 18, 20$ → $Q_3 = \frac{14 + 15}{2} = 14{,}5$

---

Tarpkvartilinis plotis (IQR)

Tarpkvartilinis plotis parodo, kaip plačiai pasisklaidę viduriniai 50% duomenų:

$IQR = Q_3 - Q_1$

Iš 13 pavyzdžio:

$IQR = 14{,}5 - 6 = 8{,}5$

IQR yra atsparesnis išskirtims nei variacijos plotis $R$, todėl geriau apibūdina „tipinę" sklaidą.

---

Pavyzdys 14 – visas sprendimas

10 mokinių sušoko į tolį (metrais): $3{,}2;\; 4{,}1;\; 3{,}8;\; 5{,}0;\; 3{,}5;\; 4{,}3;\; 3{,}9;\; 4{,}7;\; 3{,}6;\; 4{,}0$.

a) Vidurkis:

$\bar{x} = \frac{3{,}2 + 4{,}1 + 3{,}8 + 5{,}0 + 3{,}5 + 4{,}3 + 3{,}9 + 4{,}7 + 3{,}6 + 4{,}0}{10} = \frac{40{,}1}{10} = 4{,}01 \text{ m}$

b) Mediana: Surikiuojame: $3{,}2;\; 3{,}5;\; 3{,}6;\; 3{,}8;\; 3{,}9;\; 4{,}0;\; 4{,}1;\; 4{,}3;\; 4{,}7;\; 5{,}0$

$n = 10$ (lyginis): $Me = \frac{3{,}9 + 4{,}0}{2} = 3{,}95$ m

c) Moda: Visos reikšmės skirtingos – modos nėra.

d) Variacijos plotis: $R = 5{,}0 - 3{,}2 = 1{,}8$ m

e) Kvartiliai:

• Apatinė pusė: $3{,}2;\; 3{,}5;\; 3{,}6;\; 3{,}8;\; 3{,}9$ → $Q_1 = 3{,}6$ m
• Viršutinė pusė: $4{,}0;\; 4{,}1;\; 4{,}3;\; 4{,}7;\; 5{,}0$ → $Q_3 = 4{,}3$ m
• $IQR = 4{,}3 - 3{,}6 = 0{,}7$ m

---

Formulių santrauka

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite aritmetinį vidurkį, medianą ir modą šiam duomenų rinkiniui: $4, 7, 5, 7, 8, 6, 7, 9, 5, 8$.

2. Septynių dienų temperatūra (°C): $-2, 3, 1, 5, 0, -1, 4$. Raskite vidurkį, medianą ir variacijos plotį.

3. Klasės lietuvių kalbos pažymiai pateikti lentelėje:

Apskaičiuokite svertinį vidurkį ir nurodykite modą.

1. Du mokiniai gavo skirtingus testo rezultatus: Matas – $60, 70, 75, 80, 90$; Ona – $40, 70, 75, 80, 110$. Palyginkite jų vidurkius ir medianas. Kuris matas geriau apibūdina „tipinį" rezultatą kiekvienu atveju?

2. Mokinių kišenpinigiai per savaitę (€): $5, 10, 8, 7, 10, 12, 50, 9, 10, 8$. Raskite vidurkį ir medianą. Paaiškinkite, kodėl jie skiriasi.

3. Duomenys: $12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 33, 35, 38, 40$. Raskite $Q_1$, $Q_2$ (medianą), $Q_3$ ir $IQR$.

4. Dviejų klasių testų rezultatai: A klasė – vidurkis 7,2; mediana 7,5; B klasė – vidurkis 7,2; mediana 6,8. Kuri klasė turi daugiau mokinių su aukštesniais balais? Paaiškinkite.

5. Mokinių sporto varžybų šuolių į tolį rezultatai (m): $3{,}1;\; 3{,}4;\; 3{,}6;\; 3{,}6;\; 3{,}8;\; 4{,}0;\; 4{,}2;\; 4{,}5;\; 4{,}8;\; 6{,}2$. Raskite vidurkį, medianą, modą ir variacijos plotį. Ar yra galima išskirtis? Pagrįskite.

6. Darbuotojų atlyginimų pasiskirstymas:

Apskaičiuokite svertinį vidurkį ir raskite medianą. Kuri charakteristika geriau apibūdina „tipinį" atlyginimą?

1. Mokinys per semestrą gavo tokius pažymius: 6, 7, 8, 7, 5. Kontrolinių darbų svoris yra 2, o paprastų darbų – 1. Pirmieji trys pažymiai yra kontrolinių, o paskutiniai du – paprastų darbų. Apskaičiuokite svertinį vidurkį.