Tikimybių pagrindai

Pagrindinės sąvokos

Atsitiktinis bandymas (eksperimentas) – tai veiksmas, kurio rezultato iš anksto tiksliai nežinome. Pvz., monetos metimas, kauliuko ridėjimas, loterijos bilieto traukimas.

Baigtis (elementarusis įvykis) – tai vienas galimas bandymo rezultatas. Pvz., metant monetą baigtys yra: „herbas" arba „skaičius".

Įvykis – tai viena ar kelios baigtys, kurios mus domina. Žymime didžiosiomis raidėmis: $A$ , $B$ , $C$ ...

Imties erdvė $\Omega$ – tai visų galimų baigčių aibė.

Pavyzdys 1. Ridename kauliuką.

Imties erdvė: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Įvykis $A$ = „iškrito lyginis skaičius" = $\{2, 4, 6\}$
Įvykis $B$ = „iškrito skaičius, didesnis nei 4" = $\{5, 6\}$

Klasikinė tikimybė

Kai visos baigtys vienodai tikėtinos, tikimybė apskaičiuojama:

$P(A) = \frac{m}{n}$

čia:

$m$ – palankių baigčių skaičius (kiek baigčių tenkina įvykį $A$ )
$n$ – visų galimų baigčių skaičius

Tikimybės savybės:

Tikimybė visada yra nuo 0 iki 1: $0 \leq P(A) \leq 1$
Būtinas įvykis (visada įvyksta): $P(\Omega) = 1$
Negalimas įvykis (niekada neįvyksta): $P(\varnothing) = 0$

Pavyzdys 2. Ridename kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris lyginis skaičius?

Palankios baigtys: $\{2, 4, 6\}$ → $m = 3$ . Visos baigtys: $n = 6$ .

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Pavyzdys 3. Iš standartinės 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė ištraukti tūzą?

Tūzų yra 4 (širdžių, būgnų, kryžių, pikų). Visų kortų – 52.

$P(\text{tūzas}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0{,}077$

Pavyzdys 4. Maišelyje 5 raudoni, 3 mėlyni ir 2 žali kamuoliukai. Traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis bus mėlynas?

Iš viso kamuoliukų: $5 + 3 + 2 = 10$ .

$P(\text{mėlynas}) = \frac{3}{10} = 0{,}3$

Priešingas įvykis (papildinys)

Jei $A$ – įvykis, tai $\bar{A}$ (arba $A'$ ) – priešingas įvykis (viskas, kas nėra $A$ ).

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ši formulė labai naudinga, kai lengviau apskaičiuoti priešingo įvykio tikimybę.

Pavyzdys 5. Ridename kauliuką. Kokia tikimybė, kad neišriedės 6?

$P(\text{ne } 6) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$

Pavyzdys 6. Tikimybė, kad rytoj lis, yra 0,3. Kokia tikimybė, kad nelis?

$P(\text{nelis}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$

Pavyzdys 7. Iš 100 loterijos bilietų 15 yra laimingi. Traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis nelaimingas?

$P(\text{nelaimingas}) = 1 - P(\text{laimingas}) = 1 - \frac{15}{100} = \frac{85}{100} = 0{,}85$

Nesuderinamų įvykių sudėtis

Įvykiai $A$ ir $B$ yra nesuderinami (negali įvykti vienu metu), jei jie neturi bendrų baigčių.

Nesuderinamų įvykių tikimybių sudėtis:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pavyzdys 8. Ridename kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris 2 arba 5?

Įvykiai „iškris 2" ir „iškris 5" yra nesuderinami (negali iš karto iškristi ir 2, ir 5).

$P(2 \text{ arba } 5) = P(2) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 9. Maišelyje 4 raudoni, 3 mėlyni ir 5 žali kamuoliukai. Traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis bus raudonas arba žalias?

$P(\text{raudonas arba žalias}) = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75$

Nepriklausomi įvykiai

Įvykiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi, jei vieno įvykio rezultatas neturi įtakos kito įvykio tikimybei.

Nepriklausomų įvykių sandauga:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Pavyzdys 10. Metame monetą ir ridename kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris herbas ir kauliukas parodys 6?

$P(\text{herbas ir } 6) = P(\text{herbas}) \cdot P(6) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083$

Pavyzdys 11. Du šauliai šaudo į taikinį nepriklausomai. Pirmojo pataikymo tikimybė 0,8, antrojo – 0,7. Kokia tikimybė, kad abu pataikys?

$P(\text{abu pataikys}) = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$

Pavyzdys 12. Kokia tikimybė, kad metant monetą du kartus iš eilės, abu kartus iškris herbas?

$P(\text{HH}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Tikimybių medis

Tikimybių medis – tai schema, padedanti aiškiai pavaizduoti visas galimas baigčių kombinacijas ir jų tikimybes.

Pavyzdys 13. Metame monetą du kartus. Nubraižykime tikimybių medį.

                Metimas 1         Metimas 2        Baigtis    Tikimybė
                                ── H               HH         1/2 · 1/2 = 1/4
              ── H (1/2) ──
             |                  ── S               HS         1/2 · 1/2 = 1/4
    Pradžia──
             |                  ── H               SH         1/2 · 1/2 = 1/4
              ── S (1/2) ──
                                ── S               SS         1/2 · 1/2 = 1/4

Tikimybių suma: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$ ✓

Iš medžio matome:

$P(\text{bent vienas herbas}) = P(HH) + P(HS) + P(SH) = \frac{3}{4}$
Arba: $P(\text{bent vienas herbas}) = 1 - P(SS) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Pavyzdys 14 – kauliukai

Ridename du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iškritusių skaičių suma bus 7?

Žingsnis 1. Visų baigčių skaičius: $6 \times 6 = 36$ .

Žingsnis 2. Palankios baigtys (suma = 7):

1-as kauliukas	2-as kauliukas
1	6
2	5
3	4
4	3
5	2
6	1

Palankių baigčių: $m = 6$ .

$P(\text{suma } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Pavyzdys 15 – kombinuotas uždavinys

Maišelyje 6 balti ir 4 juodi kamuoliukai. Traukiame vieną kamuoliuką, užsirašome spalvą, grąžiname ir traukiame dar kartą. Kokia tikimybė, kad:

a) Abu bus balti?

Traukimai nepriklausomi (kamuoliukas grąžinamas).

$P(\text{BB}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100} = 0{,}36$

b) Abu bus juodi?

$P(\text{JJ}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = 0{,}16$

c) Abu bus tos pačios spalvos?

Įvykiai „abu balti" ir „abu juodi" nesuderinami:

$P(\text{tos pačios}) = P(\text{BB}) + P(\text{JJ}) = 0{,}36 + 0{,}16 = 0{,}52$

d) Abu bus skirtingų spalvų?

$P(\text{skirtingų}) = 1 - P(\text{tos pačios}) = 1 - 0{,}52 = 0{,}48$

Formulių santrauka

Formulė	Paaiškinimas
$P(A) = \frac{m}{n}$	Klasikinė tikimybė
$0 \leq P(A) \leq 1$	Tikimybės ribos
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$	Priešingo įvykio tikimybė
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	Nesuderinamų įvykių sudėtis
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$	Nepriklausomų įvykių sandauga

Savarankiško darbo užduotys

Ridename kauliuką. Raskite tikimybę, kad iškris: a) skaičius 4; b) nelyginis skaičius; c) skaičius, didesnis nei 2.
Iš 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė, kad bus ištraukta: a) širdžių korta; b) dama; c) raudona korta (širdys arba būgnai)?
Maišelyje 8 raudoni ir 12 mėlynų kamuoliukų. Traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis nebus raudonas?
Tikimybė, kad mokinys išlaikys egzaminą, yra 0,85. Kokia tikimybė, kad neišlaikys?
Metame monetą tris kartus. a) Kiek iš viso galimų baigčių? b) Kokia tikimybė, kad visi trys metimai bus herbai? c) Kokia tikimybė, kad bent vieną kartą iškris skaičius?
Du draugai nepriklausomai vienas nuo kito sprendžia uždavinį. Pirmojo tikimybė išspręsti – 0,6, antrojo – 0,8. Kokia tikimybė, kad: a) abu išspręs; b) nė vienas neišspręs; c) bent vienas išspręs?
Dėžėje 3 obuoliai, 5 kriaušės ir 2 apelsinai. Traukiame vieną vaisių. Kokia tikimybė, kad tai bus obuolys arba apelsinas?
Ridename du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iškritusių skaičių suma bus mažesnė nei 5? (Išvardykite palankias baigčis.)
Klasėje 18 berniukų ir 12 mergaičių. Atsitiktinai renkame du mokinius (pirmąjį „grąžindami" – t. y. pasirinkimas nepriklausomas). Kokia tikimybė, kad abu bus mergaitės?
Loterijos būgne 50 bilietų, iš jų 5 laimingi. Perkate du bilietus (pirmąjį grąžinus). Kokia tikimybė, kad: a) abu bus laimingi; b) nė vienas nebus laimingas; c) bent vienas bus laimingas?