Lygiagretiosios ir statmenosios tiesės

Lygiagretiosios ir statmenosios tiesės

Lygiagretios tiesės

Dvi tiesės yra lygiagretios, jei jos niekada nesusikerta – eina lygiagrečiai viena kitai.

Pagrindinė taisyklė:

Dvi tiesės y = k₁x + b₁ ir y = k₂x + b₂ yra lygiagretios, jei:

k₁ = k₂ ir b₁ ≠ b₂

(Vienodi nuolydžiai, bet skirtingi laisvieji nariai)

Pavyzdys 1

Ar tiesės y = 3x + 1 ir y = 3x - 5 yra lygiagretios?

k₁ = 3, k₂ = 3 → nuolydžiai vienodi

b₁ = 1, b₂ = -5 → laisvieji nariai skirtingi

Taip, tiesės yra lygiagretios!

Pavyzdys 2

Ar tiesės y = 2x + 4 ir y = 2x + 4 yra lygiagretios?

k₁ = k₂ = 2, bet b₁ = b₂ = 4 → tai ta pati tiesė, o ne lygiagretės!

Pavyzdys 3

Ar tiesės y = 3x + 1 ir y = 2x + 1 yra lygiagretios?

k₁ = 3, k₂ = 2 → nuolydžiai skirtingi, tiesės susikerta. Ne, nėra lygiagretės.

---

Lygiagretios tiesės ieškojimas

Norėdami rasti tiesę, lygiagretę duotai tiesei ir einančią per konkretų tašką:

1. Imame tą patį nuolydį k
2. Randame naują laisvąjį narį b, įstatydami duotą tašką

Pavyzdys 4

Raskite tiesę, lygiagretę y = 2x + 5 ir einančią per tašką A(1; 3).

Žingsnis 1: Lygiagreti tiesė turi k = 2 (tas pats nuolydis).

Tiesės lygtis: y = 2x + b

Žingsnis 2: Įstatome tašką A(1; 3): 3 = 2·1 + b → 3 = 2 + b → b = 1

Atsakymas: y = 2x + 1

Patikrinimas: Ar taškas (1; 3) yra ant tiesės? y = 2·1 + 1 = 3. Taip!

Pavyzdys 5

Raskite tiesę, lygiagretę y = -x + 4 ir einančią per tašką B(0; -2).

Žingsnis 1: k = -1 (tas pats nuolydis)

Žingsnis 2: Taškas B(0; -2): -2 = -1·0 + b → b = -2

Atsakymas: y = -x - 2

Pastaba: Kadangi taškas yra (0; b) tipo, laisvasis narys tiesiog lygus y koordinatei: b = -2.

---

Statmenos tiesės

Dvi tiesės yra statmenos, jei jos susikerta 90° kampu.

Pagrindinė taisyklė:

Dvi tiesės y = k₁x + b₁ ir y = k₂x + b₂ yra statmenos, jei:

k₁ · k₂ = -1

Tai reiškia: k₂ = -1 / k₁ (nuolydžiai yra atvirkštiniai vienas kito ir priešingų ženklų)

Kaip rasti statmenos tiesės nuolydį?

Jei duotas k₁, tai statmenos tiesės nuolydis:

k₂ = -1 / k₁

Pavyzdžiai:

• k₁ = 2 → k₂ = -1/2
• k₁ = -3 → k₂ = 1/3
• k₁ = 1 → k₂ = -1
• k₁ = 1/2 → k₂ = -2

Pavyzdys 6

Ar tiesės y = 3x + 1 ir y = -x/3 + 2 yra statmenos?

k₁ = 3, k₂ = -1/3

k₁ · k₂ = 3 · (-1/3) = -1. Taip, tiesės yra statmenos!

Pavyzdys 7

Ar tiesės y = 2x ir y = 2x + 1 yra statmenos?

k₁ = 2, k₂ = 2

k₁ · k₂ = 2 · 2 = 4 ≠ -1. Ne, tiesės nėra statmenos (jos iš tikrųjų lygiagretės).

---

Statmenos tiesės ieškojimas

Norėdami rasti tiesę, statmeną duotai tiesei ir einančią per konkretų tašką:

1. Randame statmenos tiesės nuolydį: k₂ = -1/k₁
2. Randame naują laisvąjį narį b, įstatydami duotą tašką

Pavyzdys 8

Raskite tiesę, statmeną y = 2x - 3 ir einančią per tašką C(4; 1).

Žingsnis 1: k₁ = 2, todėl k₂ = -1/2

Tiesės lygtis: y = -x/2 + b

Žingsnis 2: Įstatome tašką C(4; 1): 1 = -4/2 + b → 1 = -2 + b → b = 3

Atsakymas: y = -x/2 + 3

Patikrinimas: y = -4/2 + 3 = -2 + 3 = 1. Taškas (4; 1) yra ant tiesės!

Pavyzdys 9

Raskite tiesę, statmeną y = -x/4 + 1 ir einančią per tašką D(0; 5).

Žingsnis 1: k₁ = -1/4, todėl k₂ = -1/(-1/4) = 4

Žingsnis 2: Taškas D(0; 5) → b = 5

Atsakymas: y = 4x + 5

---

Grafinis aiškinimas

Lygiagretės tiesės grafike:

Lygiagretės tiesės eina vienoda kryptimi – niekada nesusikerta. Kuo didesnis atstumas tarp jų (skirtumas |b₁ - b₂|), tuo toliau jos viena nuo kitos.

Statmenos tiesės grafike:

Statmenos tiesės kerta viena kitą stačiu kampu (90°). Jei viena kyla stačiai, kita beveik horizontali.

Vizualus požymis: Jei viena tiesė kyla (k > 0), statmena jai leidžiasi (k < 0), ir atvirkščiai.

---

Tiesių santykio nustatymas

Kaip nustatyti, ar dvi tiesės lygiagretės, statmenos ar susikerta?

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Ar tiesės y = 4x + 2 ir y = 4x - 7 yra lygiagretės? Paaiškinkite.
2. Ar tiesės y = 3x + 1 ir y = -x/3 + 5 yra statmenos? Patikrinkite.
3. Raskite tiesę, lygiagretę y = 5x - 3 ir einančią per tašką (2; 4).
4. Raskite tiesę, lygiagretę y = -2x + 1 ir einančią per koordinačių pradžią (0; 0).
5. Raskite tiesę, statmeną y = 3x + 1 ir einančią per tašką (0; 2).
6. Raskite tiesę, statmeną y = -x/2 + 4 ir einančią per tašką (6; 1).
7. Tiesė l: y = 2x + 3. Raskite: a) lygiagretę tiesę per tašką (1; 0); b) statmeną tiesę per tašką (2; 5).
8. Kokiu kampu susikerta tiesės y = x + 1 ir y = -x + 3? Ar jos statmenos?