Sekos ir dėsningumai

Sekos ir dėsningumai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Sekos ir dėsningumai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Skaičių seka yra sunumeruotų skaičių sąrašas. Kiekvienam natūraliajam numeriui $n$ priskiriamas sekos narys $a_n$, todėl seką galima laikyti funkcija, kurios argumentai yra natūralieji skaičiai. Pirmieji keli nariai padeda pastebėti dėsningumą, tačiau patikimai seką nusako formulė.

Bendrojo nario formulė leidžia tiesiogiai apskaičiuoti bet kurį narį. Rekursinė formulė nurodo pradinį narį ir taisyklę, kaip iš ankstesnio gauti kitą. Pavyzdžiui, $a_1=4$, $a_{n+1}=a_n+3$ aprašo seką 4, 7, 10, 13, ...

Modeliuojant figūrų dėsningumus svarbu atskirti, kas didėja kiekviename žingsnyje. Galima sudaryti lentelę „žingsnio numeris – elementų skaičius“, patikrinti formulę keliems pirmiesiems nariams ir tik tada ja prognozuoti tolesnius.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$a_n=3n+1$$ $$a_1=c,\quad a_{n+1}=a_n+d$$ $$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Iš pagaliukų dėliojama kvadratų eilė. Vienam kvadratui reikia 4 pagaliukų, o kiekvienam naujam, priglaustam viena kraštine, – dar 3. Raskite formulę ir 20-os figūros pagaliukų skaičių.

1. Pirmas narys yra 4, o kiekvienas kitas padidėja 3.
2. Bendrojo nario formulė: $a_n=4+3(n-1)=3n+1$.
3. Įstatome $n=20$: $a_{20}=3\cdot20+1=61$.

Atsakymas. $a_n=3n+1$, o 20-ajai figūrai reikia 61 pagaliuko.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Sekos numerį pradėti nuo nulio, kai sąlygoje pirmasis narys pažymėtas $a_1$.
• Iš kelių pirmųjų narių pasirinkti taisyklę jos nepatikrinus visiems duotiems nariams.
• Rekursinėje formulėje nepateikti pradinio nario.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Užrašykite tris kitus sekos 2, 5, 8, 11, ... narius.
2. Apskaičiuokite $a_{15}$, jei $a_n=2n-3$.
3. Kuriam $n$ sekos $a_n=4n+1$ narys lygus 37?
4. Užrašykite sekos 7, 12, 17, ... rekursinę taisyklę.
5. Raskite formulę sekai 3, 6, 9, 12, ...
6. Kvadratų skaičius figūrose yra 1, 4, 9, 16, ... Kiek bus 12-oje?
7. Ar 52 yra sekos $a_n=5n+2$ narys?
8. Paaiškinkite, kuo skiriasi bendrojo nario ir rekursinė formulės.

Atsakymai savitikrai

1. 14, 17, 20.
3. $n=9$.
4. $a_1=7$, $a_{n+1}=a_n+5$.
5. $a_n=3n$.
6. $12^2=144$.
7. Taip, kai $n=10$.
8. Bendroji formulė narį randa tiesiogiai, rekursinė – iš ankstesnių narių ir pradinės reikšmės.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Sekos ir dėsningumai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.