egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Kvadratinė funkcija

Orientacinė trukmė: ~30 min

Kvadratinė funkcija

Apibrėžimas

Kvadratinė funkcija – tai funkcija, kurios formulė:

y=ax2+bx+c,a≠0y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Grafikas – parabolė.

Parabolės savybės

Šakų kryptis

  • Jei a > 0 – parabolės šakos nukreiptos aukštyn (U forma), turi minimumą
  • Jei a < 0 – parabolės šakos nukreiptos žemyn (∩ forma), turi maksimumą

Viršūnė

Parabolės viršūnė – aukščiausias arba žemiausias taškas:

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

yv=f(xv)=axv2+bxv+cy_v = f(x_v) = ax_v^2 + bx_v + c

Simetrijos ašis

Tiesė x=xv=−b2ax = x_v = -\frac{b}{2a} – parabolės simetrijos ašis.

Susikirtimas su y ašimi

Kai x = 0: y = c, taigi taškas (0, c).

Susikirtimas su x ašimi

Sprendžiame: ax² + bx + c = 0 (kvadratinė lygtis).

Paprasčiausios parabolės: y = ax²

Pavyzdys 1

y = x²

x–3–2–10123
y9410149

Viršūnė (0, 0), šakos nukreiptos aukštyn, minimumas y = 0.

Pavyzdys 2

y = –2x²

Viršūnė (0, 0), šakos nukreiptos žemyn, maksimumas y = 0. Siauresnė nei y = x².

Funkcijos tyrimas: y = ax² + bx + c

Pavyzdys 3

Ištirkite funkciją f(x) = x² – 4x + 3.

1. Šakų kryptis: a = 1 > 0, šakos nukreiptos aukštyn.

2. Viršūnė: xv=−−42⋅1=42=2x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 yv=22−4⋅2+3=4−8+3=−1y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 Viršūnė: (2, –1)

3. Simetrijos ašis: x = 2

4. Susikirtimas su y ašimi: y = 0² – 4·0 + 3 = 3, taškas (0, 3)

5. Susikirtimas su x ašimi: x² – 4x + 3 = 0 D=16−12=4,x=4±22D = 16 - 12 = 4, \quad x = \frac{4 \pm 2}{2} x1=3,x2=1x_1 = 3, \quad x_2 = 1 → taškai (1, 0) ir (3, 0)

Pavyzdys 4

Ištirkite funkciją f(x) = –x² + 2x + 8.

Viršūnė: xv=−22⋅(−1)=1,yv=−1+2+8=9x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1, \quad y_v = -1 + 2 + 8 = 9 Viršūnė: (1, 9) – tai maksimumas.

Su x ašimi: –x² + 2x + 8 = 0 → x² – 2x – 8 = 0 D=4+32=36,x=2±62D = 4 + 32 = 36, \quad x = \frac{2 \pm 6}{2} x1=4,x2=−2x_1 = 4, \quad x_2 = -2

Minimumas ir maksimumas

Kvadratinė funkcija turi vieną ekstremumo tašką – viršūnę:

  • Minimumas (a > 0): ymin=yv=c−b24ay_{min} = y_v = c - \frac{b^2}{4a}
  • Maksimumas (a < 0): ymax=yv=c−b24ay_{max} = y_v = c - \frac{b^2}{4a}

Pavyzdys 5

Ūkininkas turi 40 m tvoros ir nori aptverti stačiakampę daržo dalį prie sienos (sienai tvoros nereikia). Kokie matmenys suteikia didžiausią plotą?

Tegul plotis = x, tada ilgis = 40 – 2x.

S=x(40−2x)=40x−2x2=−2x2+40xS = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2 = -2x^2 + 40x

xv=−402⋅(−2)=10 mx_v = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 \text{ m}

Maksimalus plotas: S = 10 · (40 – 20) = 10 · 20 = 200 m²

Savarankiško darbo užduotys

  1. Nubrėžkite y = x² – 2x – 3. Raskite viršūnę ir susikirtimo taškus.
  2. Raskite parabolės y = 2x² – 8x + 6 viršūnę ir simetrijos ašį.
  3. Ar parabolės y=−x2+4xy = -x^2 + 4x šakos nukreiptos aukštyn ar žemyn? Koks jos maksimumas?
  4. Raskite funkcijos y = x² – 6x + 9 minimalią reikšmę.
  5. Parabolė kerta x ašį taškuose (–1, 0) ir (5, 0). Jos viršūnė yra x = 2. Parašykite formulę, jei eina per (0, –5).
  6. Kamuolys mestas aukštyn. Jo aukštis h(t) = –5t² + 20t. Koks maksimalus aukštis?
  7. Nustatykite, ar taškas (2, 1) priklauso parabolei y = x² – 3x + 3.
  8. Raskite susikirtimo taškus: y = x² ir y = x + 2.
  9. Funkcija f(x) = ax² + bx + c. Žinoma: viršūnė (3, –4) ir eina per (0, 5). Raskite a, b, c.
  10. Kuriame intervale funkcija y = –x² + 6x – 5 yra teigiama?