Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas

Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas

Du dydžiai tiesiogiai proporcingi, jei vienam dydžiui padidėjus (sumažėjus) kelis kartus, kitas dydis padidėja (sumažėja) tiek pat kartų.

$y = kx, \quad k \neq 0$

čia k vadinamas proporcingumo koeficientu (arba konstanta).

Tiesioginio proporcingumo savybės

• Grafikas – tiesė, einanti per koordinačių pradžią O(0, 0)
• Jei k > 0 – tiesė kyla (I ir III kvadrantai)
• Jei k < 0 – tiesė leidžiasi (II ir IV kvadrantai)
• Santykis y/x = k = const visoms reikšmėms

Pavyzdys 1

Automobilis važiuoja pastoviu greičiu 80 km/h. Nubrėžkite grafiką ir nustatykite proporcingumo koeficientą.

$s = 80 \cdot t$

Proporcingumo koeficientas k = 80. Po 2 val. – 160 km, po 3 val. – 240 km.

Pavyzdys 2

Žinome, kad y tiesiogiai proporcingas x, ir kai x = 4, tai y = 12. Raskite y, kai x = 7.

1. Randame k: k = y/x = 12/4 = 3
2. Formulė: y = 3x
3. Kai x = 7: y = 3 · 7 = 21

Pavyzdys 3

Duota: 5 sąsiuviniai kainuoja 3,75 €. Kiek kainuos 8 sąsiuviniai?

Kaina tiesiogiai proporcionali kiekiui: k = 3,75/5 = 0,75 €/sąsiuvinis

8 sąsiuviniai: 0,75 · 8 = 6,00 €

---

Atvirkštinis proporcingumas

Du dydžiai atvirkščiai proporcingi, jei vienam dydžiui padidėjus (sumažėjus) kelis kartus, kitas sumažėja (padidėja) tiek pat kartų.

$y = \frac{k}{x}, \quad k \neq 0, \quad x \neq 0$

Atvirkštinio proporcingumo savybės

• Grafikas – hiperbolė (dvi kreivės šakos)
• Sandauga xy = k = const visoms reikšmėms
• Grafikas niekada neliečia ašių

Pavyzdys 4

Statybos darbams reikia 120 žmogaus-dienų. Kiek dienų dirbs 8 darbininkai? 15 darbininkų?

$d = \frac{120}{n}$

• 8 darbininkai: d = 120/8 = 15 dienų
• 15 darbininkų: d = 120/15 = 8 dienas

Pavyzdys 5

y atvirkščiai proporcingas x. Kai x = 6, y = 4. Raskite y, kai x = 8.

1. k = xy = 6 · 4 = 24
2. Kai x = 8: y = 24/8 = 3

Pavyzdys 6

Automobilis 240 km nuvažiuoja per 3 valandas. Kiek laiko užtruksite, jei važiuosite dvigubai lėčiau?

Greičiai atvirkščiai proporcingi laikui. Lėčiau → ilgiau.

Laikas = 3 · 2 = 6 valandos

---

Kaip atskirti: tiesioginis ar atvirkštinis?

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Ar teisingos proporcijos: 3:5 = 9:15? Patikrinkite.
2. Siūlų kaina: 3 ritiniai kainuoja 4,50 €. Kiek kainuos 7 ritiniai?
3. y tiesiogiai proporcingas x. Kai x = 5, y = 20. Raskite k ir formulę.
4. 4 darbininkai darbą atliks per 9 dienas. Kiek dienų reikės 6 darbininkams?
5. Automobilis 300 km nuvažiuoja per 4 val. Kiek nuvažiuos per 7 val.?
6. Vandentiekio vamzdžiui tekant 6 val. pripildomas baseinas. Kiek laiko užtruks, jei atidarysime du tokius pat vamzdžius?
7. Nustatykite: ar y ir x tiesiogiai proporcingi, jei: (2;6), (4;12), (5;15)?
8. Nustatykite: ar y ir x atvirkščiai proporcingi, jei: (3;8), (4;6), (6;4)?
9. Ekskursijos kaina 480 €. Kaip keičiasi kaina vienam žmogui, jei važiuos 10, 15, 20 žmonių?
10. Tempas: siuvėja 1 kostiumą siuva 5 val. Kiek kostiumų pasiūs per 40 val.? Proporcingumo tipas?