egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Tiesinė funkcija

Orientacinė trukmė: ~25 min

Tiesinė funkcija

Apibrėžimas

Tiesinė funkcija – tai funkcija, kurios formulė:

y=kx+by = kx + b

čia:

  • k – kryptingumo koeficientas (tiesės nuolydis)
  • b – laisvasis narys (tiesės ir y ašies susikirtimo taškas)

Grafikas – tiesė.

Kryptingumo koeficientas k

Kryptingumo koeficientas parodo, kaip keičiasi y, kai x padidėja 1 vienetu:

k=ΔyΔx=y2−y1x2−x1k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

  • Jei k > 0 – tiesė kyla (iš kairės į dešinę)
  • Jei k < 0 – tiesė leidžiasi
  • Jei k = 0 – tiesė lygiagretė x ašiai (y = b)

Specialieji atvejai

  • y = kx (b = 0) – tiesė eina per koordinačių pradžią
  • y = b (k = 0) – horizontali tiesė
  • x = a – vertikali tiesė (tai nėra funkcija!)

Grafiko braižymas

Tiesę apibrėžia du taškai. Paprasčiausias būdas – pasirinkti x = 0 ir x = kita vertė.

Pavyzdys 1

Nubrėžkite y = 2x – 3.

xy = 2x – 3
0–3
1–1
33

Tiesė kerta y ašį ties (0, –3) ir kyla (k = 2 > 0).

Pavyzdys 2

Nubrėžkite y = –x + 4.

xy = –x + 4
04
22
40

Tiesė kerta y ašį ties (0, 4) ir leidžiasi (k = –1 < 0).

Tiesės lygtis per du taškus

Žinant du taškus A(x₁, y₁) ir B(x₂, y₂):

  1. Randame k: k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  2. Randame b: b=y1−k⋅x1b = y_1 - k \cdot x_1

Pavyzdys 3

Raskite tiesės lygtį per taškus A(1, 3) ir B(3, 7).

k=7−33−1=42=2k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

b=3−2⋅1=1b = 3 - 2 \cdot 1 = 1

Atsakymas: y = 2x + 1

Pavyzdys 4

Tiesė eina per A(0, 5) ir B(2, 1). Raskite tiesės lygtį.

k=1−52−0=−42=−2k = \frac{1 - 5}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2

b=5 (tiese˙ kerta y asˇį ties 5)b = 5 \text{ (tiesė kerta y ašį ties 5)}

Atsakymas: y = –2x + 5

Tiesių lygiagretumas ir statmenumas

  • Dvi tiesės lygiagrečios, jei jų k vienodi: k₁ = k₂ (ir b₁ ≠ b₂)
  • Dvi tiesės statmenos, jei: k1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1, t.y. k2=−1k1k_2 = -\frac{1}{k_1}

Pavyzdys 5

Ar lygiagrečios y = 3x + 1 ir y = 3x – 5?

Abiejų k = 3, taigi jos lygiagrečios.

Pavyzdys 6

Tiesės y = 2x + 1 statmena tiesė. Koks jos kryptingumo koeficientas?

k2=−12k_2 = -\frac{1}{2}

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 7

Taksi tarifas: 2 € įsėdimo mokestis + 1,50 € už kiekvieną kilometrą. Parašykite formulę ir raskite kelionės kainą už 12 km.

y=1,50x+2y = 1{,}50x + 2

Kai x = 12: y = 1,50 · 12 + 2 = 18 + 2 = 20 €

Savarankiško darbo užduotys

  1. Nubraižykite: y = x + 2, y = –2x + 5, y = 3
  2. Raskite kryptingumo koeficientą tiesės, einančios per A(2, 4) ir B(6, 12)
  3. Raskite tiesės lygtį per taškus (0, –1) ir (3, 5)
  4. Ar lygiagrečios y = 4x – 1 ir y = 4x + 3?
  5. Koks kryptingumo koeficientas tiesės, statmenos y = 3x?
  6. Tiesė y = kx + b eina per (1, 5) ir (3, 9). Raskite k ir b.
  7. Telefono planas: 5 € per mėnesį + 0,10 € už minutę. Formulė ir kaina už 40 min.
  8. Grafike tiesė kerta ašis taškuose (0, 4) ir (2, 0). Raskite tiesės lygtį.
  9. Nustatykite, ar taškas (3, 7) priklauso tiesei y = 2x + 1.
  10. Raskite susikirtimo tašką: y = x + 2 ir y = –x + 6.