Pitagoro teorema

Pitagoro teorema

Teorema

Stačiajame trikampyje hipotenuzės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai:

$c^2 = a^2 + b^2$

čia:

• c – hipotenuzė (kraštinė priešais statųjį kampą)
• a, b – statiniai (kraštinės sudarančios statųjį kampą)

---

Formulės

Iš Pitagoro teoremos gauname:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

---

Pavyzdžiai

Pavyzdys 1: Raskite hipotenuzę

Statiniai a = 3 cm, b = 4 cm. Raskite hipotenuzę.

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \text{ cm}$

Klasikinė Pitagoro triada: 3-4-5

Pavyzdys 2: Raskite statinį

Hipotenuzė c = 13 m, vienas statinys b = 5 m. Raskite a.

$a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \mathbf{12} \text{ m}$

Pavyzdys 3: Praktinis uždavinys

Statybininkas nori patikrinti, ar kampe tiksliai 90°. Jis atmatuoja 3 m palei vieną sieną ir 4 m palei kitą. Koks turi būti atstumas tarp galų?

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$

Jei atstumai 3, 4, 5 m – kampe tiksliai 90°.

Pavyzdys 4: Įstrižainė

Stačiakampio kraštinės 6 cm ir 8 cm. Raskite įstrižainę.

$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10} \text{ cm}$

---

Atvirkštinė Pitagoro teorema

Jei trikampio kraštinės c, a, b tenkina c² = a² + b², tai trikampis stačiasis.

Pavyzdys 5

Ar trikampis su kraštinėmis 5, 12, 13 yra stačiasis?

$13^2 = 169, \quad 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Taip, 169 = 169 – trikampis stačiasis.

Pavyzdys 6

Ar trikampis 7, 8, 10 yra stačiasis?

$10^2 = 100, \quad 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$

100 ≠ 113 – ne stačiasis.

---

Dažniausios Pitagoro triados

---

Koordinačių sistemoje

Atstumas tarp taškų A(x₁, y₁) ir B(x₂, y₂):

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Pavyzdys 7

Raskite atstumą tarp A(1, 2) ir B(4, 6).

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite hipotenuzę, jei statiniai 6 cm ir 8 cm.
2. Statinys 9 m, hipotenuzė 15 m. Raskite kitą statinį.
3. Ar 6, 10, 8 yra Pitagoro triada?
4. Kvadrato kraštinė 5 cm. Raskite įstrižainę.
5. Lygiašonio trikampio pagrindas 10 cm, šonas 13 cm. Raskite aukštinę.
6. Raskite atstumą tarp taškų (0, 0) ir (5, 12).
7. Statybininkas: ar statmenai padėtos lentos, kurių ilgiai 12 m ir 16 m, jei atstumas tarp jų galų 20 m?
8. Ekrano įstrižainė 24 cm, plotis 20 cm. Raskite aukštį.
9. Rombo kraštinė 10 cm, viena įstrižainė 12 cm. Raskite kitą įstrižainę ir plotą.
10. Stiebo aukštis 8 m. Trosas sujungia stiebo viršūnę su žeme 6 m nuo pagrindo. Troso ilgis?