egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Panašios figūros

Orientacinė trukmė: ~20 min

Panašios figūros

Apibrėžimas

Dvi figūros panašios, jei jos vienodos formos (bet nebūtinai vienodo dydžio). Viena gaunama iš kitos didinant arba mažinant.

Panašumo koeficientas k (arba mastelis) – tai atitinkamų kraštinių santykis:

k=a′a=b′b=c′ck = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}

Panašūs trikampiai

Du trikampiai panašūs, jei:

  1. Trys atitinkamų kampų poros lygios (KKK)
  2. Trys atitinkamų kraštinių santykiai lygūs (kkk)
  3. Du kampai lygūs (KK) – pakanka dviejų, nes trečias atsiranda automatiškai
  4. Du atitinkamų kraštinių santykiai lygūs ir tarp jų esantis kampas lygus (kKk)

Pavyzdys 1

Trikampio ABC kampai: A = 50°, B = 70°, C = 60°. Trikampio A'B'C' kampai: A' = 50°, B' = 70°, C' = 60°.

Visi kampai sutampa → trikampiai panašūs.

Pavyzdys 2

ABC: a = 3, b = 4, c = 5. A'B'C': a' = 6, b' = 8, c' = 10.

Santykiai: 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2

Trikampiai panašūs, panašumo koeficientas k = 2.

Kraštinių skaičiavimas

Jei trikampiai panašūs su koeficientu k:

a′a=b′b=c′c=k\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k

Pavyzdys 3

Trikampio kraštinės 4, 6, 8 cm. Panašus trikampis su koeficientu k = 1,5. Raskite jo kraštines.

4 · 1,5 = 6 cm, 6 · 1,5 = 9 cm, 8 · 1,5 = 12 cm

Pavyzdys 4

Du panašūs trikampiai. Vienas turi kraštines 5, 10, 15. Kito atitinkama kraštinė yra 6 (atitinka 5). Raskite likusias.

k = 6/5 = 1,2

10 · 1,2 = 12, 15 · 1,2 = 18

Plotų santykis

Jei figūrų panašumo koeficientas k, jų plotų santykis = k²:

S′S=k2\frac{S'}{S} = k^2

Pavyzdys 5

Panašumo koeficientas k = 3. Mažesnio trikampio plotas 12 cm². Didesniojo plotas?

S' = 12 · 3² = 12 · 9 = 108 cm²

Pavyzdys 6

Dviejų panašių figūrų plotai 25 cm² ir 100 cm². Raskite panašumo koeficientą.

k2=10025=4,k=2k^2 = \frac{100}{25} = 4, \quad k = 2

Tūrių santykis

Jei erdvinių figūrų panašumo koeficientas k, tūrių santykis = k³:

V′V=k3\frac{V'}{V} = k^3

Pavyzdys 7

Panašumo koeficientas k = 2. Mažesnio kubo tūris 8 cm³. Didesniojo tūris?

V' = 8 · 2³ = 8 · 8 = 64 cm³

Žemėlapiai ir masteliai

Žemėlapio mastelis 1:50 000 reiškia, kad 1 cm žemėlapyje = 50 000 cm = 500 m natūroje.

Pavyzdys 8

Mastelis 1:100 000. Žemėlapyje kelias 3,5 cm. Tikrasis ilgis?

3,5 · 100 000 = 350 000 cm = 3,5 km

Pavyzdys 9

Mastelis 1:25 000. Tikrasis miško plotas 1 km² = 1 000 000 m². Koks plotas žemėlapyje?

k = 1/25 000, k² = 1/625 000 000

1 000 000 m² / 625 000 000 = 0,0016 m² = 16 cm²

Savarankiško darbo užduotys

  1. Trikampio kampai 40°, 70°, 70°. Ar jis panašus į trikampį su kampais 40°, 70°, 70°?
  2. Kraštinės 3, 4, 5 ir 9, 12, 15. Ar trikampiai panašūs? Koks k?
  3. Panašumas k = 4. Mažesnio trikampio kraštinės 2, 3, 4. Raskite didesniojo.
  4. Plotai 9 cm² ir 36 cm². Koks panašumo koeficientas?
  5. k = 3. Mažesnio kvadrato perimetras 20 cm. Didesniojo perimetras?
  6. k = 2. Mažesnio tūris 27 cm³. Didesniojo tūris?
  7. Mastelis 1:50 000. Žemėlapyje ežeras 4 cm × 3 cm. Tikrasis plotas km²?
  8. Statūs trikampiai su kampais 30°-60°-90°. Jie visada panašūs? Kodėl?
  9. Dviejų panašių figūrų tūriai 8 m³ ir 125 m³. Koks panašumo koeficientas?
  10. Fotoaparato nuotrauka 10 × 15 cm. Plakatas 60 × 90 cm. Ar proporcijos išlaikytos?