Trigonometrija stačiajame trikampyje

Trigonometrija stačiajame trikampyje

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Trigonometrija stačiajame trikampyje“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Stačiajame trikampyje įžambinė yra kraštinė prieš statųjį kampą, o kitos dvi kraštinės – statiniai. Pasirinktam smailiajam kampui vienas statinis yra priešpriešinis, kitas – prigretinis. Sinusas, kosinusas ir tangentas yra šių kraštinių ilgių santykiai.

Santykio pasirinkimas priklauso nuo žinomų ir ieškomų kraštinių. Jei dalyvauja priešpriešinis statinis ir įžambinė, tinka sinusas; prigretinis statinis ir įžambinė – kosinusas; abu statiniai – tangentas. Kampą galima rasti atvirkštine skaičiuotuvo funkcija.

Panašūs statieji trikampiai turi tuos pačius atitinkamų kraštinių santykius, todėl trigonometrinės reikšmės priklauso tik nuo kampo. Naudingos tiksliosios reikšmės: 30°, 45° ir 60° kampams jos gaunamos iš specialiųjų trikampių.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$\sin\alpha=priešpriešinis/įžambinė$$ $$\cos\alpha=prigretinis/įžambinė$$ $$\tan\alpha=priešpriešinis/prigretinis$$ $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Stačiojo trikampio įžambinė yra 10 cm, o vienas smailusis kampas 35°. Raskite prieš šį kampą esantį statinį dešimtųjų tikslumu.

1. Ieškome priešpriešinio statinio, žinome įžambinę, todėl taikome sinusą.
2. Užrašome $\sin35^\circ=x/10$.
3. Išreiškiame $x=10\sin35^\circ\approx5{,}7358$.
4. Apvaliname iki dešimtųjų: 5,7 cm.

Atsakymas. Statinio ilgis maždaug 5,7 cm.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Įžambine pavadinti ilgiausią kraštinę nepatikrinus, kuri yra prieš statųjį kampą.
• Supainioti priešpriešinį ir prigretinį statinį pakeitus nagrinėjamą kampą.
• Skaičiuotuvą palikti radianų režime, kai kampai pateikti laipsniais.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Stačiajame trikampyje priešpriešinis statinis 6, įžambinė 10. Raskite $\sin\alpha$.
2. Prigretinis statinis 8, įžambinė 10. Raskite $\cos\alpha$.
3. Statiniai 5 ir 12. Raskite mažesniojo kampo tangentą.
4. Įžambinė 14 cm, kampas 30°. Raskite priešpriešinį statinį.
5. Prigretinis statinis 9 cm, kampas 60°. Raskite įžambinę.
6. Jei $\sin\alpha=0{,}5$ ir kampas smailusis, raskite $\alpha$.
7. Kopėčios 5 m remiasi į sieną, apačia 3 m nuo sienos. Kokį aukštį pasiekia?
8. Kodėl $\tan90^\circ$ šiame modelyje neapibrėžtas?

Atsakymai savitikrai

1. 0,6.
2. 0,8.
3. $5/12$.
4. 7 cm.
5. 18 cm.
6. $30^\circ$.
7. 4 m.
8. Nes prigretinis statinis / kosinusas tampa lygus nuliui, o dalyba iš nulio negalima.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Trigonometrija stačiajame trikampyje. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.