egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Apskritimas ir skritulys

Orientacinė trukmė: ~25 min

Apskritimas ir skritulys

Pagrindinės sąvokos

Apskritimas – uždaroji kreivė, kurios visi taškai vienodai nutolę nuo centro.

Skritulys – apskritimo apribota plokštumos dalis (su vidiniu plotu).

  • Spindulys (r) – atstumas nuo centro iki bet kurio apskritimo taško
  • Skersmuo (d) – styga einanti per centrą: d = 2r
  • Styga – atkarpa, jungianti du apskritimo taškus
  • Lankas – apskritimo dalis tarp dviejų taškų
  • Liestinė – tiesė, liečianti apskritimą viename taške

Pagrindinės formulės

Apskritimo ilgis (perimetras)

C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d

Skritulio plotas

S=πr2S = \pi r^2

čia π ≈ 3,14159...

Pavyzdys 1

Apskritimo spindulys 7 cm. Raskite apskritimo ilgį ir skritulio plotą.

C=2⋅π⋅7=14π≈43,98 cmC = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98 \text{ cm}

S=π⋅72=49π≈153,94 cm2S = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}94 \text{ cm}^2

Pavyzdys 2

Skritulys turi plotą 78,5 cm². Raskite spindulį.

πr2=78,5⇒r2=78,5π≈25⇒r=5 cm\pi r^2 = 78{,}5 \Rightarrow r^2 = \frac{78{,}5}{\pi} \approx 25 \Rightarrow r = 5 \text{ cm}

Lankas ir sektorius

Lanko ilgis (centrinio kampo α laipsniais):

l=α360°⋅2πrl = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r

Sektoriaus plotas:

Ssek=α360°⋅πr2S_{sek} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2

Pavyzdys 3

Apskritimo spindulys 10 cm, centrinis kampas 72°. Raskite lanko ilgį ir sektoriaus plotą.

l=72360⋅2π⋅10=15⋅20π=4π≈12,57 cml = \frac{72}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ cm}

Ssek=72360⋅π⋅100=15⋅100π=20π≈62,83 cm2S_{sek} = \frac{72}{360} \cdot \pi \cdot 100 = \frac{1}{5} \cdot 100\pi = 20\pi \approx 62{,}83 \text{ cm}^2

Pavyzdys 4

Laikrodžio minutinė rodyklė 15 cm ilgio. Kokį kelią nueis jos galas per 20 minučių?

20 min = 120° (nes 60 min = 360°)

l=120360⋅2π⋅15=13⋅30π=10π≈31,42 cml = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 30\pi = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm}

Apskritimas koordinačių sistemoje

Apskritimas su centru O(a, b) ir spinduliu r:

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Jei centras koordinačių pradžioje O(0, 0):

x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Pavyzdys 5

Parašykite apskritimo, kurio centras (3, –1) ir spindulys 5, lygtį.

(x−3)2+(y+1)2=25(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25

Liestinė ir styga

Liestinės savybė

Liestinė statmena spinduliui liestinės taške.

Styga ir jos atstumas nuo centro

Styga AB. Atkarpa iš centro iki stygos vidurio statmena stygai.

Pavyzdys 6

Apskritimo spindulys 13 cm. Styga nutolusi nuo centro 5 cm. Koks stygos ilgis?

AB2=132−52=169−25=144=12\frac{AB}{2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

AB=24 cmAB = \mathbf{24} \text{ cm}

Savarankiško darbo užduotys

  1. Apskritimo spindulys 6 cm. Raskite apskritimo ilgį ir plotą.
  2. Rato skersmuo 60 cm. Kiek apsisukimų per 1 km?
  3. Skritulio perimetras 31,4 cm. Raskite spindulį ir plotą.
  4. Centrinis kampas 120°, r = 9 cm. Raskite lanko ilgį ir sektoriaus plotą.
  5. Raskite skritulio išpjovos (sektoriaus) su 60° kampu plotą, jei r = 6 cm.
  6. Apskritimas: x² + y² = 49. Koks centras ir spindulys?
  7. Parašykite apskritimo lygtį: centras (–2, 3), r = 4.
  8. Styga 16 cm. Centras nutolęs nuo stygos 6 cm. Raskite spindulį.
  9. Picos skersmuo 32 cm. Koks jos plotas? Jei atpjauname 30° gabalą, koks jo plotas?
  10. Du apskritimai: r₁ = 5, r₂ = 3. Jų centrų atstumas 8 cm. Ar jie susikerta?