Kvadratinės lygtys ir mišrios sistemos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Kvadratinės lygtys ir mišrios sistemos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Kvadratinė lygtis turi pavidalą $ax^2+bx+c=0$ , kur $a\ne0$ . Išskaidytą lygtį patogu spręsti naudojant nulinės sandaugos taisyklę: jei dviejų daugiklių sandauga lygi nuliui, bent vienas iš jų lygus nuliui.

Bendruoju atveju skaičiuojamas diskriminantas $D=b^2-4ac$ . Kai $D>0$ , lygtis turi dvi realiąsias šaknis; kai $D=0$ – vieną dvigubą šaknį; kai $D<0$ – realiųjų šaknų nėra. Gautas šaknis verta patikrinti pradinėje lygtyje.

Tiesinės ir kvadratinės lygties sistemą galima spręsti pakeitimo būdu: iš tiesinės lygties išreiškiamas vienas kintamasis ir įstatomas į kvadratinę. Grafiškai sistemos sprendiniai yra tiesės ir parabolės susikirtimo taškai.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

D=b^2-4ac

x_{1,2}=(-b\pm\sqrt{D})/(2a)

(u)(v)=0\Rightarrow u=0\text{ arba }v=0

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite sistemą $y=x+1$ ir $y=x^2-3x+1$ .

Sulyginame abi $y$ išraiškas: $x+1=x^2-3x+1$ .
Perkeliame narius: $x^2-4x=0$ .
Išskaidome: $x(x-4)=0$ , todėl $x=0$ arba $x=4$ .
Pagal $y=x+1$ gauname taškus $(0;1)$ ir $(4;5)$ .

Atsakymas. Sistemos sprendiniai: $(0;1)$ ir $(4;5)$ .

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Diskriminante pamesti koeficiento $b$ ženklą.
Radus $x$ reikšmes sistemoje neapskaičiuoti atitinkamų $y$ reikšmių.
Padalijus lygtį iš reiškinio su kintamuoju prarasti sprendinį, kuriam tas reiškinys lygus nuliui.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Išspręskite $x^2-9=0$ .
Išspręskite $x^2-5x+6=0$ .
Kiek realiųjų šaknų turi $x^2+2x+5=0$ ?
Išspręskite $2x^2-8x=0$ .
Raskite parabolės $y=x^2-4$ sankirtas su $x$ ašimi.
Išspręskite sistemą $y=x$ ir $y=x^2$ .
Išspręskite sistemą $x+y=5$ , $xy=6$ .
Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys 1 ir −4.

Atsakymai savitikrai

$x=-3$ arba $x=3$ .
$x=2$ arba $x=3$ .
Nė vienos, nes $D=-16$ .
$x=0$ arba $x=4$ .
$(-2;0)$ ir $(2;0)$ .
$(0;0)$ ir $(1;1)$ .
$(2;3)$ ir $(3;2)$ .
Pvz., $(x-1)(x+4)=0$ , t. y. $x^2+3x-4=0$ .

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Kvadratinės lygtys ir mišrios sistemos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.