egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Lygčių sistema dviem kintamaisiais

Orientacinė trukmė: ~30 min

Lygčių sistema dviem kintamaisiais

Apibrėžimas

Lygčių sistema – kelios lygtys, kurias reikia patenkinti tuo pačiu metu.

Tiesinė lygčių sistema su dviem kintamaisiais:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

Pakeitimo metodas

Algoritmas:

  1. Iš vienos lygties išreiškiame vieną kintamąjį per kitą
  2. Gautą išraišką įstatome į kitą lygtį
  3. Gauname lygtį su vienu kintamuoju – sprendžiame
  4. Randame antrą kintamąjį

Pavyzdys 1

{y=2x+13x+y=11\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}

Pirma lygtis jau išreikšta y. Įstatome į antrą:

3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11 5x+1=115x + 1 = 11 5x=10⇒x=25x = 10 \Rightarrow x = 2

y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5

Atsakymas: x = 2, y = 5

Patikrinimas: 3·2 + 5 = 11 ✓

Pavyzdys 2

{x+2y=73x−y=7\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}

Iš pirmos lygties: x = 7 – 2y

Įstatome: 3(7 – 2y) – y = 7

21 – 6y – y = 7 → –7y = –14 → y = 2

x = 7 – 2·2 = 3

Sudėjimo (atimties) metodas

Algoritmas:

  1. Padauginame lygtis iš skaičių taip, kad vieno kintamojo koeficientai taptų priešingais
  2. Sudedame lygtis – vienas kintamasis išnyksta
  3. Sprendžiame gautą lygtį
  4. Randame antrą kintamąjį

Pavyzdys 3

{2x+3y=124x−3y=0\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 0 \end{cases}

Koeficientai prie y jau priešingi (3 ir –3). Sudedame:

6x=12⇒x=26x = 12 \Rightarrow x = 2

Įstatome: 2·2 + 3y = 12 → 3y = 8 → y = 8/3

Pavyzdys 4

{3x+2y=85x−4y=2\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 5x - 4y = 2 \end{cases}

Dauginsime pirmą lygtį iš 2:

{6x+4y=165x−4y=2\begin{cases} 6x + 4y = 16 \\ 5x - 4y = 2 \end{cases}

Sudedame: 11x = 18 → x = 18/11... (tiksliau: bandykime kitaip)

Dauginsime pirmą iš 5, antrą iš 3:

{15x+10y=4015x−12y=6\begin{cases} 15x + 10y = 40 \\ 15x - 12y = 6 \end{cases}

Atimame: 22y = 34 → y = 17/11, x = (8 – 2·17/11)/3 = 10/11

Grafinis sprendimas

Kiekviena lygtis – tiesė. Sistemos sprendinys – susikirtimo taškas.

Atvejiai:

  • Tiesės kertasi viename taške → vienas sprendinys
  • Tiesės lygiagrečios → sprendinių nėra
  • Tiesės sutampa → begalybė sprendinių

Uždaviniai

Pavyzdys 5

Du skaičiai. Jų suma 30, skirtumas 8. Raskite juos.

{x+y=30x−y=8\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 8 \end{cases}

Sudedame: 2x = 38 → x = 19, y = 11. Atsakymas: 19 ir 11

Pavyzdys 6

Bilietas suaugusiajam kainuoja dvigubai daugiau nei vaikui. 3 suaugusieji ir 5 vaikai sumokėjo 44 €. Kainos?

{s=2v3s+5v=44\begin{cases} s = 2v \\ 3s + 5v = 44 \end{cases}

Įstatome: 3·2v + 5v = 44 → 11v = 44 → v = 4 €, s = 8 €

Savarankiško darbo užduotys

  1. {x+y=10; x−y=4}\{x + y = 10;\ x - y = 4\}
  2. {2x+y=7; x−y=2}\{2x + y = 7;\ x - y = 2\}
  3. {3x+2y=12; x+y=5}\{3x + 2y = 12;\ x + y = 5\}
  4. {2x−3y=1; 4x+y=9}\{2x - 3y = 1;\ 4x + y = 9\}
  5. {x/2+y=3; x−y/2=1}\{x/2 + y = 3;\ x - y/2 = 1\}
  6. Du dviračiai. Greičiai 15 ir 18 km/h. Išvyksta priešingomis kryptimis. Po 2 val. atstumas?
  7. Avys ir vištos: galvų 40, kojų 112. Kiek avių, kiek vištų?
  8. Vandentiekis: vienas vamzdis pripildo cisternos 1/3 per val., kitas 1/4 per val. Kartu kiek laiko?
  9. Parduota 50 bilietų: 10 € ir 15 € bilietų. Bendra suma 600 €. Kiek kiekvienos rūšies?
  10. Trikampio kampų suma 180°. Vienas kampas dvigubai didesnis už antrą, trečias 30°. Raskite.