Tiesinės lygtys su vienu kintamuoju

Tiesinės lygtys su vienu kintamuoju

Apibrėžimas

Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju – lygtis pavidalo:

$ax + b = 0, \quad a \neq 0$

Sprendimas: $x = -\frac{b}{a}$

---

Ekvivalentūs pertvarkymai

Lygtis išlieka ekvivalentiška, jei:

1. Prie abiejų pusių pridedame arba atimame tą patį skaičių
2. Abidvi puses dauginame arba dalijame iš to paties skaičiaus (≠ 0)
3. Keičiame narių vietas (su ženklo pakeitimu perkeliant per lygybės ženklą)

---

Sprendimo algoritmas

1. Atskleisti skliaustus
2. Perkelti narius su x į kairę, skaičius į dešinę
3. Sutraukti panašiuosius narius
4. Padalinti iš x koeficiento

Pavyzdys 1

Išspręskite: 3x + 7 = 22

$3x = 22 - 7 = 15$ $x = 5$

Pavyzdys 2

Išspręskite: 2(x – 3) = 4 + x

$2x - 6 = 4 + x$ $2x - x = 4 + 6$ $x = 10$

Pavyzdys 3

Išspręskite: $\frac{x+1}{2} - \frac{x-2}{3} = 1$

Dauginame iš 6 (bendras vardiklis):

$3(x+1) - 2(x-2) = 6$ $3x + 3 - 2x + 4 = 6$ $x + 7 = 6$ $x = -1$

Pavyzdys 4

Išspręskite: 4(2x – 1) – 3(x + 2) = 5x – 10

$8x - 4 - 3x - 6 = 5x - 10$ $5x - 10 = 5x - 10$ $0 = 0$

Lygtis teisinga visiems x – begalybė sprendinių.

Pavyzdys 5

Išspręskite: 3x + 5 = 3x – 2

$5 = -2$

Prieštaravimas – sprendinių nėra.

---

Uždaviniai su sąlyga

Pavyzdys 6

Dviejų skaičių suma 45. Vienas skaičius 9 daugiau už kitą. Raskite skaičius.

Tegul x – mažesnis skaičius. Kitas: x + 9. Lygtis: x + (x + 9) = 45

$2x + 9 = 45 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18$

Skaičiai: 18 ir 27. Patikrinimas: 18 + 27 = 45 ✓

Pavyzdys 7

Mokykloje 3 kartus daugiau mergaičių nei berniukų. Iš viso 360 mokinių. Kiek berniukų?

Tegul berniukų – x. Mergaičių – 3x. x + 3x = 360 → 4x = 360 → x = 90 berniukų

---

Savarankiško darbo užduotys

1. 5x – 8 = 27
2. 3(x + 4) = 2x + 15
3. (2x – 1)/3 = (x + 2)/2
4. 4x + 5 = 4x – 3 (kiek sprendinių?)
5. 2(3x – 4) – (4x + 1) = 5
6. Skaičiaus trigubo ir 7 suma lygi 34. Koks skaičius?
7. Vienas kampas dvigubai didesnis už kitą, o suma 90°. Raskite kampus.
8. Trijų iš eilės einančių sveikųjų skaičių suma 48. Raskite juos.
9. Keliautojas pirmą dieną nuėjo 1/3 kelio, antrą – 24 km, trečią – likusius 1/4 viso kelio. Kelias?
10. Du traukiniai išvyksta vienas kito link: atstumas 480 km, greičiai 80 ir 100 km/h. Per kiek valandų susitiks?