Tiesinės nelygybės

Nelygybių ženklai

Ženklas	Reikšmė
$<$	mažiau už
$>$	daugiau už
$\leq$	mažiau arba lygu
$\geq$	daugiau arba lygu

Ekvivalentūs nelygybių pertvarkymai

Nelygybė išlieka ekvivalentiška, jei:

Prie abiejų pusių pridedame/atimame tą patį skaičių
Abidvi puses dauginame/dalijame iš teigiamo skaičiaus – ženklas nesikeičia
Abidvi puses dauginame/dalijame iš neigiamo skaičiaus – ženklas keičiasi!

Sprendimas ir sprendinio aibė

Sprendinio aibė žymima intervalu:

(a; b) – atvirasis intervalas: a < x < b
[a; b] – uždarasis intervalas: a ≤ x ≤ b
(a; +∞) – x > a
(–∞; a] – x ≤ a

Pavyzdys 1

Išspręskite: 3x – 5 > 7

$3x > 12 \Rightarrow x > 4$

Sprendinio aibė: (4; +∞)

Pavyzdys 2

Išspręskite: –2x + 8 ≥ 2

$-2x \geq -6$

Dalijame iš –2, ženklas keičiasi: x ≤ 3

Sprendinio aibė: (–∞; 3]

Pavyzdys 3

Išspręskite: 4(x – 1) < 2(x + 5)

$4x - 4 < 2x + 10$ $2x < 14$ $x < 7$

Sprendinio aibė: (–∞; 7)

Pavyzdys 4

Išspręskite: $\frac{x+2}{3} \geq \frac{x-1}{2}$

Dauginame iš 6:

$2(x+2) \geq 3(x-1)$ $2x + 4 \geq 3x - 3$ $-x \geq -7$ $x \leq 7$

Dvigubos nelygybės

Dviguba nelygybė – dvi sąlygos kartu:

$a < 3x + 1 \leq 10$

Sprendžiame kaip dvi nelygybes:

Pavyzdys 5

Išspręskite: –1 < 2x + 3 ≤ 11

Atimame 3: –4 < 2x ≤ 8

Dalijame iš 2: –2 < x ≤ 4

Sprendinio aibė: (–2; 4]

Grafinė interpretacija

Nelygybės sprendinys – atkarpa skaičių tiesėje:

Atviras taškas ○ – taškas neįeina (< arba >)
Uždaras taškas ● – taškas įeina (≤ arba ≥)

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 6

Kino bilietai kainuoja 8 €. Turite 50 €. Kiek bilietų galite nusipirkti?

$8n \leq 50 \Rightarrow n \leq 6{,}25$

Galima nusipirkti daugiausiai 6 bilietus.

Pavyzdys 7

Mokinys per kontrolinį turi surinkti daugiau nei 40 taškų. Pirmose 3 užduotyse gavo 28 taškus. Kiek turi gauti paskutinėje užduotyje?

$28 + x > 40 \Rightarrow x > 12$

Turi gauti daugiau nei 12 taškų.

Patikra ir atsakymo interpretavimas

Nelygybės sprendinys yra ne vienas skaičius, o visa skaičių aibė. Patikrai pasirinkite vieną skaičių iš rasto intervalo ir įstatykite į pradinę nelygybę. Tada pasirinkite skaičių už intervalo ribų: jis sąlygos tenkinti neturėtų. Toks dvigubas bandymas padeda pastebėti ne ta kryptimi apverstą ženklą.

Intervalo galai turi būti žymimi pagal pradinį ženklą. Kai leidžiama lygybė, ribinis taškas įtraukiamas ir rašomas laužtinis skliaustas. Begalybė nėra skaičius, todėl prie jos visada rašomas apvalus skliaustas. Praktiniame uždavinyje dar atsižvelgiama į tai, ar kintamasis gali būti trupmeninis: bilietų skaičius turi būti sveikasis, o laikas ar ilgis gali būti dešimtainis.

Papildomas pavyzdys. Jei planui galima skirti ne daugiau kaip 90 €, o pastovus mokestis yra 18 € ir viena valanda kainuoja 12 €, tai $18+12h\le90$ . Gauname $12h\le72$ , todėl $h\le6$ . Kadangi laikas negali būti neigiamas, prasminis atsakymas yra $0\le h\le6$ .

Savarankiško darbo užduotys

2x + 3 > 9
–4x ≤ 20
3(x – 2) < 2x + 1
5 – 2x ≥ x – 4
(x + 4)/2 > (2x – 1)/3
–3 < 2x – 1 ≤ 5
Egzamino balas ≥ 40 – išlaikyta. Gautas 3 · x + 7, kur x – teisingų atsakymų skaičius. Nuo kiek teisingų išlaikoma?
Kelionė 300 km. Greitis ≥ 60 km/h. Kiek ilgiausiai galima važiuoti?
Produktas kainuoja x €. Parduodama su 20% nuolaida. Norime, kad kaina būtų < 24 €. Raskite x.
Sodo plotas ≥ 100 m². Ilgis 15 m. Koks mažiausias plotis?