Procentų skaičiavimas

Procentų skaičiavimas

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Procentų skaičiavimas“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Procentų uždaviniuose pasitaiko trys pagrindiniai klausimai: rasti procentinę dalį, rasti visumą arba nustatyti, kiek procentų vienas dydis sudaro kito. Patikimas būdas – procentą paversti dešimtaine trupmena ir užrašyti vieną lygtį.

Didinant dydį p procentų, pradinis dydis dauginamas iš koeficiento 1 + p/100. Mažinant – iš 1 − p/100. Keli nuoseklūs pokyčiai dauginami, o ne sudedami: padidinus 10 % ir po to sumažinus 10 %, į pradinę reikšmę negrįžtama.

Kai žinoma galutinė reikšmė po nuolaidos ar antkainio, reikia dalyti iš pokyčio koeficiento. Pavyzdžiui, jei po 20 % nuolaidos kaina yra 64 €, tai 64 € sudaro 80 % pradinės kainos, todėl pradinė kaina lygi 64 : 0,8.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$dalis=A\cdot p/100$$ $$A=dalis:(p/100)$$ $$A_{naujas}=A_{senas}(1\pm p/100)$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Striukė po 15 % nuolaidos kainuoja 68 €. Raskite pradinę kainą.

1. Po nuolaidos liko $100\%-15\%=85\%$ kainos.
2. 85 % užrašome koeficientu 0,85.
3. Pradinę kainą pažymime $x$: $0{,}85x=68$.
4. Daliname: $x=68:0{,}85=80$.

Atsakymas. Pradinė kaina buvo 80 €.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Nuolaidos dydį atimti eurais, nors pateiktas procentas.
• Atvirkštiniame uždavinyje galutinę kainą dalyti iš procentų skaičiaus 85, o ne koeficiento 0,85.
• Nuoseklius procentinius pokyčius tiesiog sudėti.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Raskite 18 % skaičiaus 250.
2. 36 yra 12 % kokio skaičiaus?
3. Kiek procentų 24 sudaro iš 80?
4. 120 € kainą padidinkite 8 %.
5. 75 € kainą sumažinkite 20 %.
6. Po 25 % nuolaidos prekė kainuoja 45 €. Kokia pradinė kaina?
7. Skaičių 200 padidino 10 %, tada sumažino 10 %. Koks rezultatas?
8. Gyventojų padaugėjo nuo 800 iki 920. Koks procentinis pokytis?

Atsakymai savitikrai

3. 30 %.
4. 129,60 €.
5. 60 €.
6. 60 €.
8. 15 % padidėjimas.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Procentų skaičiavimas. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.