Santykiai ir proporcijos

Santykiai ir proporcijos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Santykiai ir proporcijos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Dviejų vienarūšių dydžių santykis parodo, kiek kartų vienas dydis didesnis už kitą arba kokią jo dalį sudaro. Prieš sudarant santykį dydžiai turi būti išreikšti tais pačiais vienetais. Santykį galima trumpinti kaip trupmeną.

Proporcija yra dviejų santykių lygybė. Jei $a/b=c/d$ ir vardikliai nelygūs nuliui, tai kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai: $ad=bc$. Ši savybė leidžia rasti nežinomą proporcijos narį.

Mastelis 1 : n reiškia, kad vienas ilgio vienetas brėžinyje atitinka n tokių pačių vienetų tikrovėje. Ploto mastelio koeficientas yra ilgio koeficiento kvadratas, todėl vien ilgių santykio negalima tiesiogiai taikyti plotams.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$a:b=a/b$$ $$a/b=c/d \Rightarrow ad=bc$$ $$tikrasis\ ilgis=brėžinio\ ilgis\cdot n$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Žemėlapio mastelis 1 : 50 000. Atstumas žemėlapyje yra 3,6 cm. Koks tikrasis atstumas kilometrais?

1. Dauginame pagal mastelį: $3{,}6\cdot50\,000=180\,000$ cm.
2. Centimetrus paverčiame metrais: $180\,000$ cm = 1 800 m.
3. Metrais išreikštą atstumą paverčiame kilometrais: 1 800 m = 1,8 km.

Atsakymas. Tikrasis atstumas yra 1,8 km.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Sudaryti santykį iš skirtingų vienetų jų nesuvienodinus.
• Proporcijoje dauginti tos pačios pusės narius vietoje kryžminės sandaugos.
• Mastelio atsakymą palikti centimetrais, nors prašomi kilometrai.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Sutrumpinkite santykį 18 : 30.
2. Raskite $x$, jei $x/12=5/3$.
3. Padalykite 84 santykiu 3 : 4.
4. Recepte miltų ir cukraus santykis 5 : 2. Kiek cukraus reikia 750 g miltų?
5. Mastelis 1 : 1000, brėžinyje 7 cm. Koks tikrasis ilgis?
6. Tikras atstumas 12 km, mastelis 1 : 200 000. Koks ilgis žemėlapyje?
7. Ar santykiai 8 : 12 ir 10 : 15 sudaro proporciją?
8. 5 darbuotojai darbą atlieka per 12 dienų. Kiek dienų teoriškai reikėtų 10 darbuotojų?

Atsakymai savitikrai

1. 3 : 5.
2. $x=20$.
3. 36 ir 48.
4. 300 g.
5. 70 m.
6. 6 cm.
7. Taip, abu lygūs 2 : 3.
8. 6 dienų, jei našumas vienodas.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Santykiai ir proporcijos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.