Laipsniai su sveikaisiais rodikliais

Laipsniai su sveikaisiais rodikliais

Teigiamas rodiklis

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ kartų}}, \quad n \in \mathbb{N}$

Specialūs atvejai:

• $a^1 = a$
• $a^0 = 1$ (kai a ≠ 0)

---

Neigiamas rodiklis

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0$

Pavyzdžiai

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

---

Laipsnių taisyklės

Taisyklės galioja tiems patiems pagrindams:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

---

Pavyzdžiai

Pavyzdys 1

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Pavyzdys 2

$\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Pavyzdys 3

$(2^3)^2 = 2^6 = 64$

Pavyzdys 4

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Pavyzdys 5

$x^5 \cdot x^{-3} = x^{5+(-3)} = x^2$

Pavyzdys 6

$\frac{a^3}{a^7} = a^{3-7} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

Pavyzdys 7

Suprastinkite: $\frac{2^5 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^4}$

$= 2^{5-3} \cdot 3^{2-4} = 2^2 \cdot 3^{-2} = \frac{4}{9}$

---

Dažniausios klaidos

Klaida 1: $a^m + a^n \neq a^{m+n}$

Sandaugai taip, sudėčiai – ne! $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12 \neq 2^5$

Klaida 2: $(a + b)^n \neq a^n + b^n$

$(2 + 3)^2 = 25 \neq 4 + 9 = 13$

Klaida 3: $(-a)^2 \neq -a^2$

$(-3)^2 = 9$, bet $-3^2 = -9$

---

Standartinė forma (mokslinis žymėjimas)

Labai dideli ir maži skaičiai rašomi pavidalu:

$a \cdot 10^n, \quad \text{kur } 1 \leq a < 10$

Pavyzdžiai

• $\text{Šviesos greitis: } 300\,000\,000 = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$
• $\text{Elektrono masė: } 0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,911 = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$
• $\text{Lietuvos plotas: } 65\,300 = 6{,}53 \cdot 10^4 \text{ km}^2$

Pavyzdys 8

$(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3) = 6 \cdot 10^7$

$(8 \cdot 10^6) \div (4 \cdot 10^2) = 2 \cdot 10^4$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite: $3^{-2}$, $5^0$, $(-2)^4$
2. Suprastinkite: $x^4 \cdot x^{-2}$
3. Suprastinkite: $\frac{y^5}{y^3}$
4. Suprastinkite: $(a^2)^3$
5. Išskleiskite: $(2x)^4$
6. Suprastinkite: $\frac{6a^3b^2}{3ab^4}$
7. Apskaičiuokite: $\frac{2^6 \cdot 3^3}{2^4 \cdot 3^4}$
8. Parašykite standartiniu pavidalu: 47 200 000 ir 0,000381
9. Apskaičiuokite: $(5 \cdot 10^3)^2$
10. Atlikite: $(4 \cdot 10^5) \div (8 \cdot 10^2)$