Algebrinės trupmenos

Algebrinės trupmenos

Apibrėžimas

Algebrinė trupmena – tai trupmena $\frac{P(x)}{Q(x)}$, kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, Q(x) ≠ 0.

Apibrėžimo sritis – visos $x$ reikšmės, kurioms vardiklis nelygus $0$.

Pavyzdys 1

$\frac{x+1}{x-3}$ – neapibrėžta, kai x = 3. Apibrėžimo sritis: x ∈ ℝ, x ≠ 3.

---

Suprastinimas

Trupmeną suprastiname skaitiklį ir vardiklį padaliję iš bendro dauginamojo:

$\frac{P \cdot R}{Q \cdot R} = \frac{P}{Q}$

Pavyzdys 2

$\frac{6x^2}{9x} = \frac{2x}{3}$

Pavyzdys 3

$\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x - 2 \quad (x \neq -2)$

Pavyzdys 4

$\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+2)}{x-3} = x + 2 \quad (x \neq 3)$

---

Daugyba ir dalyba

Daugyba

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Pavyzdys 5:

$\frac{3x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{6} = \frac{3x}{6} = \frac{x}{2}$

Dalyba

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Pavyzdys 6:

$\frac{x^2}{4} \div \frac{x}{2} = \frac{x^2}{4} \cdot \frac{2}{x} = \frac{2x^2}{4x} = \frac{x}{2}$

---

Sudėjimas ir atimtis (vienodais vardikliais)

$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$

Pavyzdys 7:

$\frac{3x}{x+2} - \frac{6}{x+2} = \frac{3x-6}{x+2} = \frac{3(x-2)}{x+2}$

---

Sudėjimas ir atimtis (skirtingais vardikliais)

1. Randame bendrą vardiklį (BV)
2. Papildomai dauginame kiekvieną trupmeną
3. Sudedame/atimame skaitiklius

Pavyzdys 8:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

Pavyzdys 9:

$\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+1}$

BV = (x–1)(x+1) = x²–1

$= \frac{2(x+1) - 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+2-3x+3}{x^2-1} = \frac{-x+5}{x^2-1}$

Pavyzdys 10:

$\frac{x}{x-2} + \frac{4}{x^2-4}$

x²–4 = (x–2)(x+2), BV = (x–2)(x+2)

$= \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x+2)}$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Nustatykite apibrėžimo sritį: $\frac{3}{x+5}$
2. Suprastinkite: $\frac{4x^2y}{8xy^2}$
3. Suprastinkite: $\frac{x^2-9}{x-3}$
4. Suprastinkite: $\frac{x^2+x}{x^2-1}$
5. Apskaičiuokite: $\frac{2x}{3} \cdot \frac{9}{4x^2}$
6. Apskaičiuokite: $\frac{x^2-4}{x} \div \frac{x+2}{3x}$
7. Sudėkite: $\frac{2}{x} + \frac{3}{2x}$
8. Atimkite: $\frac{5}{x-1} - \frac{2}{x+1}$
9. Suprastinkite: $\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$
10. Išspręskite lygtį: $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$