Sklaidos diagrama ir koreliacija

Sklaidos diagrama ir koreliacija

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Sklaidos diagrama ir koreliacija“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Sklaidos diagramoje kiekviena stebėjimų pora $(x;y)$ vaizduojama tašku. Ji padeda įvertinti, ar didėjant vienam kintamajam kitas linkęs didėti, mažėti, ar aiškaus ryšio nematyti. Taškų debesies forma svarbesnė už vieną atskirą tašką.

Teigiama koreliacija reiškia bendrą didėjimo kryptį, neigiama – mažėjimo kryptį. Kuo taškai glaudžiau telkiasi apie įsivaizduojamą tiesę, tuo tiesinis ryšys stipresnis. Išskirtis yra nuo bendro debesies nutolęs taškas; ją reikia patikrinti, bet negalima automatiškai ištrinti.

Koreliacija savaime neįrodo priežastinio ryšio. Abu kintamuosius gali veikti trečias veiksnys, duomenų gali būti per mažai arba imtis gali būti šališka. Prognozuoti už stebėto intervalo ribų rizikinga, nes ryšys ten gali pasikeisti.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$(x_i;y_i)\text{ – viena stebėjimų pora}$$ $$r\in[-1;1]$$ $$r>0\text{ – teigiama, }r<0\text{ – neigiama koreliacija}$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Mokinių mokymosi valandos ir testo taškai pateikti poromis: (1;48), (2;55), (3;63), (4;69), (5;78). Apibūdinkite ryšį ir įvertinkite 6 valandas mokiusio mokinio rezultatą.

1. Taškai kylant $x$ taip pat nuosekliai kyla, todėl ryšys teigiamas ir gana stiprus.
2. Rezultatas per papildomą valandą vidutiniškai didėja maždaug 7–8 taškais.
3. Tiesinis tęsinys duotų apie 85 taškus, tačiau tai tik apytikslė prognozė.

Atsakymas. Stipri teigiama koreliacija; pagrįstas apytikslis įvertis – apie 85 taškus.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Teigiamą koreliaciją pavadinti įrodytu priežastiniu ryšiu.
• Ryšio kryptį spręsti tik iš dviejų pasirinktų taškų.
• Daryti tolimą prognozę už turimų duomenų intervalo ribų neįvardijant neapibrėžtumo.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Taškai leidžiasi iš kairės į dešinę. Kokia koreliacijos kryptis?
2. Taškai išsidėstę be aiškios krypties. Kokia išvada?
3. Ką vadiname išskirtimi?
4. Ar ledų pardavimų ir nudegimų saulėje koreliacija įrodo, kad ledai sukelia nudegimus?
5. Kodėl 4 porų imtis silpnesnė už 100 porų imtį?
6. Kai $r$ artimas −1, kaip apibūdinamas ryšys?
7. Ar galima koreliaciją taikyti kategorijoms „raudona“, „mėlyna“ be skaitinės skalės?
8. Įvardykite vieną priežastį, kodėl prognozė už duomenų intervalo gali būti klaidinga.

Atsakymai savitikrai

1. Neigiama.
2. Aiškaus tiesinio ryšio nematyti.
3. Nuo bendro duomenų debesies ryškiai nutolusį stebėjimą.
4. Ne; abu reiškinius gali didinti karštas oras.
5. Maža imtis jautresnė atsitiktinumui ir išskirtims.
6. Stiprus neigiamas tiesinis ryšys.
7. Ne tiesiogiai; koreliacijai reikia prasmingų skaitinių porų.
8. Ryšys už stebėto intervalo gali tapti netiesinis arba visai pasikeisti.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Sklaidos diagrama ir koreliacija. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.