Paprastos tikimybės

Kas yra tikimybė?

Kasdien susiduriame su neapibrėžtumu: ar rytoj lis? Ar išlošiu žaidime? Ar atspėsiu teisingą atsakymą? Tikimybė – tai skaičius, kuris parodo, kokia yra galimybė, kad kažkas įvyks.

Kuo tikimybė didesnė – tuo labiau tikėtina, kad įvykis nutiks.

Pagrindinės sąvokos

Sąvoka	Paaiškinimas	Pavyzdys
Eksperimentas (bandymas)	Veiksmas, kurio rezultatas iš anksto nežinomas	Monetos metimas, kauliuko ridėjimas
Baigtis (elementarusis įvykis)	Vienas galimas eksperimento rezultatas	Iškrito skaičius 3
Imties erdvė $\Omega$	Visų galimų baigčių aibė	Kauliukas: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Įvykis $A$	Baigčių rinkinys, kuris mus domina	Iškrito lyginis skaičius: $A = \{2, 4, 6\}$

Klasikinė tikimybės formulė

Jei visi eksperimento rezultatai vienodai galimi (pvz., simetriška moneta, taisyklingas kauliukas), tai įvykio $A$ tikimybė:

$P(A) = \frac{m}{n}$

kur:

$m$ – palankių baigčių skaičius (tos, kurios tenkina įvykį $A$ ),
$n$ – visų galimų baigčių skaičius.

Pavyzdys 1. Metame taisyklingą kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius 5?

Palankios baigtys: $\{5\}$ → $m = 1$
Visos baigtys: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ → $n = 6$

$P(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Tikimybė – maždaug 16,7 %.

Pavyzdys 2. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris lyginis skaičius?

Palankios baigtys: $\{2, 4, 6\}$ → $m = 3$
Visos baigtys: $n = 6$

$P(\text{lyginis}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Tikimybė – 50 % (pusė visų galimybių).

Tikimybės reikšmių ribos

Tikimybė visada yra skaičius nuo 0 iki 1:

$0 \leq P(A) \leq 1$

Tikimybė	Reikšmė
$P(A) = 0$	Neįmanomas įvykis (niekada neįvyks)
$P(A) = 1$	Būtinas įvykis (tikrai įvyks)
$P(A) = 0{,}5$	Įvykis toks pat tikėtinas, kaip ir netikėtinas

Pavyzdys 3. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius 7?

Skaičiaus 7 ant kauliuko nėra, todėl $m = 0$ :

$P(7) = \frac{0}{6} = 0$

Tai neįmanomas įvykis.

Pavyzdys 4. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius, mažesnis arba lygus 6?

Visi kauliuko skaičiai yra nuo 1 iki 6, todėl $m = 6$ :

$P(\leq 6) = \frac{6}{6} = 1$

Tai būtinas įvykis – jis tikrai nutiks.

Papildinys (priešingas įvykis)

Papildinys $\bar{A}$ (skaitome „ne A") – tai įvykis, kad $A$ neįvyksta.

Papildinio tikimybė:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ši formulė labai naudinga, kai papildinio tikimybę apskaičiuoti lengviau nei paties įvykio.

Pavyzdys 5. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad neiškris skaičius 3?

$P(\text{ne } 3) = 1 - P(3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$

Tikimybė – maždaug 83,3 %.

Tikimybė su monetomis ir kamuoliukais

Pavyzdys 6. Metame simetrišką monetą. Kokia tikimybė, kad iškris herbas?

Galimos baigtys: herbas, skaičius → $n = 2$
Palankios baigtys: herbas → $m = 1$

$P(\text{herbas}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Pavyzdys 7. Maišelyje yra 4 raudoni, 3 mėlyni ir 2 žali kamuoliukai. Ištraukiame vieną atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad jis bus mėlynas?

Iš viso kamuoliukų: $n = 4 + 3 + 2 = 9$
Mėlynų: $m = 3$

$P(\text{mėlynas}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$

Tikimybė – maždaug 33,3 %.

Kokia tikimybė, kad kamuoliukas nebus raudonas?

$P(\text{ne raudonas}) = 1 - P(\text{raudonas}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556$

Savarankiško darbo užduotys

Metamas taisyklingas kauliukas. Raskite tikimybę, kad iškris skaičius, didesnis už 4.
Metamas taisyklingas kauliukas. Raskite tikimybę, kad iškris nelyginis skaičius.
Maišelyje yra 5 raudonos, 3 geltonos ir 2 žalios spalvos kortelės. Atsitiktinai traukiama viena. Kokia tikimybė, kad ji bus geltona?
Dėžėje yra 12 saldainių: 7 šokoladiniai ir 5 vaisiniai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai paimtas saldainis bus vaisinis?
Metama simetriška moneta. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius (ne herbas)?
Krepšyje yra 6 obuoliai ir 4 kriaušės. Atsitiktinai pasirinktas vaisius. Kokia tikimybė, kad tai nebus obuolys?
Iš raidžių rinkinio atsitiktinai pasirenkama viena raidė. Kokia tikimybė, kad tai bus raidė A?
Loterijos būgne yra kamuoliukai su skaičiais nuo 1 iki 20. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas kamuoliukas turės skaičių, dalijamą iš 5?
Metamas kauliukas. Apskaičiuokite tikimybę, kad iškritęs skaičius nebus didesnis už 2.
Klasėje 25 mokiniai. Iš jų 10 berniukų ir 15 mergaičių. Atsitiktinai renkamas vienas mokinys budėti. Kokia tikimybė, kad bus išrinkta mergaitė? O kokia tikimybė, kad nebus išrinktas berniukas? Ką pastebite?