Elektrinis laukas, potencialas ir įtampa

Mokymosi tikslai

Skirti elektrinio lauko stiprį nuo jėgos ir potencialą nuo potencinės energijos.
Apskaičiuoti taškinio krūvio lauką ir taikyti superpoziciją.
Susieti įtampą su lauko darbu ir krūvio energijos pokyčiu.
Analizuoti vienalytį lauką bei ekvipotencialius paviršius.
Taikyti kondensatoriaus talpos ir sukauptos energijos ryšius.

Prisimink

Elektrinis laukas yra sąveikos modelis: jis egzistuoja erdvėje nepriklausomai nuo to, ar ten padėtas bandomasis krūvis. Lauko kryptis apibrėžiama kaip teigiamą bandomąjį krūvį veikiančios jėgos kryptis.

Sąvokos ir simboliai

Elektrinio lauko stipris $\vec E=\vec F/q$ , SI vienetas $\text{N/C}=\text{V/m}$ .
Elektrinis potencialas $\varphi=E_p/q$ , SI vienetas voltas (V).
Įtampa $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ , V.
Ekvipotencialus paviršius – vienodo potencialo taškų visuma.
Talpa $C=q/U$ , SI vienetas faradas (F).
Vienalytis laukas – laukas, kurio $\vec E$ vienodas nagrinėjamoje srityje.

Teorija: elektrinio lauko stipris

Taškinio šaltinio krūvio vakuume lauko formulė gaunama iš apibrėžimo $E=F/|q_0|$ ir Kulono dėsnio, įsivaizduojant pakankamai mažą teigiamą bandomąjį krūvį $q_0$ :

$E=\frac{F}{|q_0|}=\frac{1}{|q_0|}k_e\frac{|Qq_0|}{r^2}=k_e\frac{|Q|}{r^2}.$

Ši išvestis duoda modulį; kryptį nustato šaltinio krūvio ženklas.

Jei visą nagrinėjamą sritį užpildo vienalytė, tiesinė ir izotropinė dielektrinė terpė, paprastame makroskopiniame modelyje vakuumo sąveika sumažėja santykinės dielektrinės skvarbos $\varepsilon_r$ kartų:

$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\frac{|q_1q_2|}{r^2},\qquad E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\frac{|Q|}{r^2}.$

Šių formulių negalima tiesiogiai taikyti prie dviejų terpių ribos, netiesinei ar nevienalytei medžiagai: tada poliarizacijos krūvių laukas priklauso nuo geometrijos.

Nuo teigiamo $Q$ jis nukreiptas radialiai išorėn, į neigiamą – vidun. Kelių šaltinių laukai sumuojami vektoriškai:

$\vec E=\sum_i\vec E_i.$

Jėga lauke:

$\vec F=q\vec E.$

Neigiamam krūviui jėga nukreipta prieš $\vec E$ .

Formulės ir SI: potencialas ir įtampa

Elektrostatinio lauko darbas perkeliant krūvį iš A į B:

$W_{A\to B}=q(\varphi_A-\varphi_B)=qU_{AB},$

$\Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_{A\to B}.$

Elektronvoltas (eV) yra energijos vienetas: tai energijos pokyčio modulis, kai elementariojo krūvio modulį turinti dalelė pereina $1\ \text{V}$ potencialų skirtumą. Kadangi $1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$ ir elementarusis krūvis SI sistemoje apibrėžtas tiksliai,

$1\ \text{eV}=e\cdot1\ \text{V}=1{,}602\,176\,634\cdot10^{-19}\ \text{J}.$

Elektronvoltas nėra įtampos vienetas. Konvertuojant energiją $E[\text{eV}]=E[\text{J}]/(1{,}602\,176\,634\cdot10^{-19}\ \text{J/eV})$ .

Potencialas yra skaliaras, todėl kelių taškinių krūvių potencialai sumuojami algebriškai. Lauko linijos statmenos ekvipotencialams, o elektrostatinis laukas nukreiptas potencialo mažėjimo kryptimi.

Vienalyčiame lauke tarp plokščių, nepaisant kraštinių efektų:

$E=\frac Ud,$

kur $d$ – atstumas lauko kryptimi.

Kondensatorius

Kondensatorius kaupia atskirtą krūvį ir elektrinio lauko energiją:

$C=\frac qU,$

$E_C=\frac{CU^2}{2}=\frac{qU}{2}=\frac{q^2}{2C}.$

Talpa priklauso nuo geometrijos ir terpės, o idealaus linijinio kondensatoriaus – ne nuo momentinio $q$ ar $U$ . Įkrautas kondensatorius gali išlikti pavojingas atjungus maitinimą.

Kondensatoriai skirstomi keliais neprieštaraujančiais būdais. Pagal talpos keitimą jie būna pastoviosios ir kintamosios talpos; pagal konstrukciją – plokštieji, cilindriniai ar kitos geometrijos; pagal dielektriką ir technologiją – keraminiai, plėveliniai, elektrolitiniai bei elektrinio dvigubo sluoksnio („superkondensatoriai“). Elektrolitiniai kondensatoriai dažnai yra poliariniai, todėl neteisingas poliškumas ar leistinos įtampos viršijimas gali juos sugadinti ir kelti pavojų. Tipo pavadinimas nepakeičia pagrindinio $C=q/U$ apibrėžimo, bet lemia talpos diapazoną, nuostolius, poliškumą ir leistinas darbo sąlygas.

Dielektrike išorinis laukas poliarizuoja susietuosius krūvius. Jų sukurtas laukas medžiagoje iš dalies kompensuoja išorinį, todėl tos pačios geometrijos kondensatoriaus talpa gali padidėti. Paprastam visiškai dielektriku užpildytam plokščiajam kondensatoriui

$C=\varepsilon_r\varepsilon_0\frac Ad,$

kur $\varepsilon_r$ – santykinė dielektrinė skvarba. Formulė nepaiso kraštinių efektų ir daro prielaidą, kad terpė vienalytė, linijinė bei nepramušta. Viršijus dielektrinį atsparumą izoliatorius gali tapti laidus.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Lauko stipris ir jėga

Duota. $Q=+4{,}0\ \text{nC}$ , $r=0{,}30\ \text{m}$ , $k_e=8{,}99\cdot10^9$ SI. Taške yra elektronas, kurio krūvio modulis $e=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ .

Rasti. Lauko stiprio modulį bei kryptį ir elektroną veikiančios jėgos modulį bei kryptį.

Modelis ir sąlygos. Šaltinio krūvis taškinis, nejudantis vakuume; elektronas laikomas bandomuoju krūviu, todėl šaltinio pasiskirstymo nekeičia.

Vienetai. $Q=4{,}0\cdot10^{-9}\ \text{C}$ , o $r$ , $k_e$ ir $e$ jau pateikti SI.

Skaičiavimas.

$E=8{,}99\cdot10^9\frac{4{,}0\cdot10^{-9}}{0{,}30^2}=399{,}555\ldots\ \text{N/C}.$

$F=eE=1{,}60\cdot10^{-19}\cdot399{,}555\ldots=6{,}39289\ldots\cdot10^{-17}\ \text{N}.$

Atsakymas. $E\approx400\ \text{N/C}$ nuo $Q$ ; elektroną veikia $F=6{,}4\cdot10^{-17}\ \text{N}$ jėga $Q$ kryptimi.

Patikra. $k_eQ/r^2$ vienetai yra N/C, o $eE$ – N. Teigiamo šaltinio laukas nukreiptas išorėn, bet neigiamo elektrono jėga prieš lauką, todėl kryptis į $Q$ fiziškai teisinga.

2. Darbas ir energija

Duota. $q=+2{,}0\ \mu\text{C}$ juda iš 120 V potencialo taško į 40 V tašką.

Rasti. Elektrostatinio lauko darbą $W$ ir krūvio potencinės energijos pokytį $\Delta E_p$ .

Modelis ir sąlygos. Laukas elektrostatinis, krūvis teigiamas, o $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ ; kitų energijos perdavimo būdų nevertiname.

Vienetai. $q=2{,}0\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $\Delta\varphi=80\ \text{V}$ ir $1\ \text{C}\cdot\text{V}=1\ \text{J}$ .

Skaičiavimas.

$W=q(\varphi_A-\varphi_B)=2{,}0\cdot10^{-6}(120-40)=1{,}6\cdot10^{-4}\ \text{J}.$

$\Delta E_p=-1{,}6\cdot10^{-4}\ \text{J}.$

Atsakymas. Laukas atlieka $0{,}16\ \text{mJ}$ teigiamą darbą; potencinė energija tiek sumažėja.

Patikra. Teigiamas krūvis juda potencialo mažėjimo kryptimi, todėl lauko darbas teigiamas, o $\Delta E_p=-W$ . Energijos vienetas $\text{C}\cdot\text{V}$ atitinka džaulį ir abiejų pokyčių moduliai lygūs.

3. Vienalytis laukas

Duota. Plokščių įtampa $600\ \text{V}$ , tarpas $3{,}0\ \text{cm}$ .

Rasti. Vienalyčio elektrinio lauko stiprio modulį $E$ tarp plokščių.

Modelis ir sąlygos. Plokštės lygiagrečios ir daug didesnės už tarpą, nagrinėjamas taškas toli nuo kraštų, dielektrinio pramušimo nėra.

Vienetai. Atstumą paverčiame į SI: $d=3{,}0\ \text{cm}=0{,}030\ \text{m}$ .

Skaičiavimas.

$E=\frac{600}{0{,}030}=2{,}0\cdot10^4\ \text{V/m}.$

Atsakymas. $2{,}0\cdot10^4\ \text{V/m}$ toli nuo plokščių kraštų.

Patikra. $\text{V}/\text{m}$ yra lauko stiprio vienetas. Per visą $0{,}030\ \text{m}$ tarpą $Ed=600\ \text{V}$ atkuria įtampą, o teigiamas modulis logiškas.

4. Kondensatoriaus energija

Duota. $C=100\ \mu\text{F}$ , $U=12\ \text{V}$ .

Rasti. Kondensatoriaus krūvio modulį $q$ ir sukauptą energiją $E_C$ .

Modelis ir sąlygos. Kondensatorius idealus, linijinis ir pilnai įkrautas iki nurodytos įtampos; nuotėkio bei nuostolių nepaisoma.

Vienetai. $C=100\cdot10^{-6}\ \text{F}$ , įtampa pateikta voltais.

Skaičiavimas.

$q=CU=100\cdot10^{-6}\cdot12=1{,}2\cdot10^{-3}\ \text{C},$

$E_C=\frac12CU^2=\frac12\cdot100\cdot10^{-6}\cdot144=7{,}2\cdot10^{-3}\ \text{J}.$

Atsakymas. $q=1{,}2\ \text{mC}$ , $E_C=7{,}2\ \text{mJ}$ .

Patikra. $\text{F}\cdot\text{V}=\text{C}$ ir $\text{F}\cdot\text{V}^2=\text{J}$ , todėl matmenys teisingi. Be to, $E_C=qU/2=(1{,}2\ \text{mC})(12\ \text{V})/2=7{,}2\ \text{mJ}$ patvirtina rezultatą.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Lauko linijos nėra trajektorijos. Linija rodo momentinę teigiamo bandomojo krūvio jėgos kryptį. Krūvis, turintis pradinį skersinį greitį, nebūtinai juda lauko linija.

Darbas ekvipotencialu. Perkeliant krūvį tuo pačiu ekvipotencialiu paviršiumi $\Delta\varphi=0$ , todėl elektrostatinio lauko darbas lygus nuliui, nors laukas gali būti nenulinis.

Praktinė veikla: ekvipotencialų žemėlapis

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.5.1). BP tiesiogiai reikalauja tyrinėti laidininkus ir dielektrikus elektrostatiniame lauke; konkreti laidžiojo popieriaus arba vandens ekvipotencialų žemėlapio procedūra yra EDITORIAL būdas lauko geometrijai tirti.

Naudokite žemos saugios įtampos laidų popierių ar vandens vonelę su elektrodais. Voltmetru nustatykite vienodo potencialo taškus, nurodykite jo skiriamąją gebą, kartokite taškus ir nubraižykite ekvipotencialus su pagrįsta erdvine neapibrėžtimi, tada statmenai jiems – lauko kryptis. Palyginkite laidžios ir dielektrinės kliūties poveikį, bet nepainiokite vandens vonelės srovės lauko su tikra elektrostatine vakuumo sistema: tai matematiškai analogiškas modelis. Elektrodų nejudinkite matuodami, nenaudokite tinklo įtampos, o skysčius laikykite atokiau nuo neapsaugotų maitinimo šaltinių.

Dažnos klaidos

$\vec E$ kryptį keisti pagal bandomojo krūvio ženklą.
Lauko stiprį ir jėgą laikyti tuo pačiu dydžiu.
Potencialą painioti su potencine energija.
Potencialus sumuoti vektoriškai.
Formulę $E=U/d$ taikyti bet kokiam nevienalyčiam laukui.
Manyti, kad atjungtas kondensatorius būtinai išsikrovęs.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Lauko stipris aprašo jėgą vienetiniam teigiamam krūviui ir yra vektorius.
Potencialas yra potencinė energija vienetiniam krūviui ir yra skaliaras.
Įtampa sieja elektrinio lauko darbą su perkeliamu krūviu.
Kondensatorius kaupia atskirtą krūvį ir elektrinio lauko energiją.

Savikontrolė

Kur nukreipta jėga neigiamam krūviui elektriniame lauke?
Kuo $E$ skiriasi nuo $\varphi$ ?
Kodėl ekvipotencialu lauko darbas lygus nuliui?
Kada galima naudoti $E=U/d$ ?
Nuo ko priklauso kondensatoriaus talpa?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 – Fizikos bendrosios programos 25 priedo §30.5 elektrinio lauko, potencialo ir įtampos reikalavimai.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančios suvestinės 25 priedo §30.5.1 pažodinis normatyvinis tekstas.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus elektrostatikos turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-BIPM-SI-9 – SI sistemos oficialus džaulio, volto ir elektronvolto vienetų ryšys.