Magnetinis laukas ir jo poveikis

Mokymosi tikslai

Apibūdinti magnetinį lauką indukcijos vektoriumi $\vec B$ ir lauko linijomis.
Nustatyti tiesaus laidininko, ritės ir nuolatinio magneto lauko kryptį.
Apskaičiuoti magnetinę jėgą srovės laidininkui ir judančiam krūviui.
Analizuoti įkrautos dalelės judėjimą vienalyčiame magnetiniame lauke.
Paaiškinti elektros variklio sukimo momento principą ir modelio ribas.

Prisimink

Magnetinis laukas veikia judančius krūvius ir sroves. Vien magnetinis laukas nepadidina taškinio krūvio greičio modulio, nes magnetinė jėga statmena greičiui ir darbo neatlieka.

Sąvokos ir simboliai

Magnetinio lauko indukcija $\vec B$ , SI vienetas tesla (T).
Lorenco jėga – elektrinio ir magnetinio laukų jėga krūviui; čia nagrinėjamas magnetinis dėmuo.
$I$ – sutartinės srovės stipris.
$l$ – lauke esančios tiesios laidininko dalies ilgis.
$q$ – dalelės krūvis; $v$ – jos greitis.
$\alpha$ – kampas tarp srovės ar greičio ir $\vec B$ .
Magnetinis dipolis – sistema su šiauriniu ir pietiniu polių modeliu, pavyzdžiui, srovės kilpa.

Teorija: magnetinio lauko kryptys

Tiesaus laidininko magnetinio lauko linijos yra apskritimai aplink laidininką. Kryptis nustatoma dešinės rankos taisykle pagal sutartinę srovę. Ilgos ritės viduje laukas apytikriai vienalytis ir nukreiptas pagal dešinės rankos pirštų bei nykščio taisyklę.

Vieno laidininko srovė sukuria magnetinį lauką, kuris Ampero jėga veikia kitą laidininką. Dvi lygiagrečios vienodos krypties srovės traukia, priešingų krypčių – stumia. Ilgų plonų lygiagrečių laidininkų vakuume, kai atstumas $d$ daug didesnis už jų spindulius ir nagrinėjama toli nuo galų,

$\frac Fl=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}.$

Ši formulė nėra tinkama trumpiems, susuktiems ar savavališkos geometrijos laidininkams be papildomo lauko skaičiavimo.

Magnetinio lauko linijos nesibaigia ties poliais – jos yra uždaros. Izoliuotų magnetinių monopolių įprastoje klasikinėje fizikoje neaptikta.

Formulės ir SI: jėga srovei ir krūviui

Tiesiam laidininkui vienalyčiame lauke:

$F=BIl\sin\alpha.$

Judančiam taškiniam krūviui magnetinės jėgos modulis:

$F_B=|q|vB\sin\alpha.$

Kryptis teigiamam krūviui gaunama iš vektorinės sandaugos $\vec F=q\vec v\times\vec B$ ; neigiamam – priešinga. Jei $\vec v\parallel\vec B$ , jėga lygi nuliui.

Kai $\vec v\perp\vec B$ ir kitų jėgų nėra, jėga yra įcentrinė:

$|q|vB=\frac{mv^2}{r},$

$r=\frac{mv}{|q|B}.$

Greitis ir kinetinė energija nekinta, o trajektorija yra apskritimas. Jei yra ir lygiagreti greičio dedamoji, trajektorija – sraigtinė.

Elektrinis ir magnetinis laukai veikia skirtingai:

$\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B).$

Vienalytis elektrinis laukas gali keisti greičio modulį ir kinetinę energiją, nes $q\vec E$ gali turėti dedamąją greičio kryptimi. Vien magnetinis dėmuo visada statmenas $\vec v$ ir darbo neatlieka. Kryžminiuose statmenuose laukuose tiesiai juda tik tokio greičio dalelė, kuriai priešingi jėgų moduliai tenkina $|q|E=|q|vB$ , t. y. $v=E/B$ ; kryptys ir krūvio ženklas visada tikrinami vektoriškai.

Įkrautų dalelių trajektorijų taikymai

Masės spektrometre kryžminiai elektrinis ir magnetinis laukai gali atrinkti greitį $v=E/B$ , o kitame vienalyčiame magnetiniame lauke išmatuotas orbitos spindulys $r=mv/(|q|B)$ leidžia atskirti jonus pagal $m/|q|$ . Ciklotrone elektrinis laukas tarp elektrodų didina dalelės kinetinę energiją, o magnetinis laukas elektrodų viduje tik išlenkia trajektoriją. Klasikiniame nereliatyvistiniame modelyje apsisukimo periodas $T=2\pi m/(|q|B)$ nuo spindulio nepriklauso; didėjant greičiui iki reliatyvistinio režimo šis paprastas sinchronizavimas nebetinka.

Teigiamo krūvio judėjimo vienalyčiuose laukuose palyginimas: elektriniame lauke trajektorija išlinksta jėgos kryptimi ir greičio modulis kinta, magnetiniame lauke trajektorija apskrita ir greičio modulis pastovus, kryžminiuose laukuose pažymėtos priešingos elektrinė bei magnetinė jėgos

Srovės kilpos sukimo momentas ir variklio principas

Vienalyčiame magnetiniame lauke priešingas stačiakampės srovės kilpos kraštines veikiančios Ampero jėgos gali būti vienodo modulio ir priešingų krypčių. Jų atstojamoji tuomet lygi nuliui, tačiau jėgų veikimo tiesės nesutampa, todėl jos sudaro jėgų porą ir suka kilpą. Sukamasis poveikis didžiausias, kai kilpos normalė statmena laukui, ir išnyksta, kai normalė lygiagreti arba priešinga laukui. Taip kilpa linkusi pasisukti, kad jos magnetinio momento kryptis susilygiuotų su $\vec B$ .

Tai idealizuotas elektros variklio principas: maitinimo šaltinio tiekiama elektrinė energija per Ampero jėgų porą perduodama mechaninei sistemai, o magnetinis laukas nėra „sunaudojamas“ energijos šaltinis. Šis kokybinis modelis remiasi standžia plokščia kilpa vienalyčiame išoriniame lauke ir pastovia srove. Realus nuolatinės srovės variklis turi komutatorių arba elektroninį valdiklį, kuris tinkamu momentu pakeičia srovės kryptį, kad sukamasis poveikis išliktų tos pačios krypties; vienos idealios kilpos modelis neaprašo priešpriešinės elektrovaros, apvijų kaitimo, magnetinių ir mechaninių nuostolių. Šioje pamokoje variklio principas nagrinėjamas kokybiškai; atskira kiekybinė sukimo momento formulė neteikiama.

Medžiagų magnetinės savybės

Diamagnetikų indukuotas magnetinis atsakas silpnas ir nukreiptas prieš išorinį lauką. Paramagnetikų netvarkingai orientuoti magnetiniai momentai lauke iš dalies išsirikiuoja jo kryptimi, bet išjungus lauką ryškus įmagnetėjimas paprastai neišlieka. Feromagnetikuose momentų sritys – domenai – gali kolektyviai persitvarkyti, todėl atsakas stiprus ir gali išlikti liekamasis įmagnetėjimas. Šios kategorijos priklauso nuo medžiagos, temperatūros ir lauko; paprastas teiginys „magnetas traukia visus metalus“ yra klaidingas.

Magnetinė skvarba $\mu$ sieja magnetinio lauko indukciją su magnetinį lauką kuriančių laisvųjų srovių lauko stipriu $\vec H$ . Tiesinei izotropinei medžiagai

$\vec B=\mu\vec H=\mu_0\mu_r\vec H,$

kur $\mu_r$ – bematė santykinė magnetinė skvarba. Diamagnetikams ji nežymiai mažesnė už 1, paramagnetikams – nežymiai didesnė. Feromagnetikams ryšys paprastai netiesinis, priklauso nuo ankstesnio įmagnetinimo ir gali sotėti, todėl vienos pastovios $\mu_r$ vertės visam laukų diapazonui taikyti negalima.

Minkšti feromagnetikai naudojami elektromagnetų ir transformatorių šerdims, nes padeda sutelkti magnetinį srautą ir gali būti lengvai permagnetinami. Didelę liekamąją magnetizaciją bei koercinį lauką turinčios medžiagos tinka nuolatiniams magnetams. Parinkimas priklauso nuo histerezės nuostolių, soties, dažnio ir temperatūros, todėl „didesnė $\mu_r$ visada geriau“ nėra universali taisyklė.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Laidininko jėga

Duota. $B=0{,}40\ \text{T}$ , $I=3{,}0\ \text{A}$ , $l=0{,}25\ \text{m}$ , laidininkas statmenas laukui.

Rasti. Laidininką veikiančios Ampero jėgos modulį $F$ .

Modelis ir sąlygos. Tiesi laidininko dalis yra vienalyčiame lauke, $\alpha=90^\circ$ , o kraštinių ir paties laidininko lauko poveikio skaičiuojamam išoriniam $B$ nepaisoma.

Vienetai. T, A ir m yra suderinti SI; $1\ \text{T}\cdot\text{A}\cdot\text{m}=1\ \text{N}$ .

Skaičiavimas.

$F=BIl=0{,}40\cdot3{,}0\cdot0{,}25=0{,}30\ \text{N}.$

Atsakymas. $0{,}30\ \text{N}$ ; kryptis statmena ir srovei, ir laukui.

Patikra. $\sin90^\circ=1$ duoda didžiausią galimą jėgą šioms $B$ , $I$ ir $l$ reikšmėms. Vienetai atitinka niutoną, o modulis teigiamas.

2. Krūvio jėga

Duota. Protonas juda $v=2{,}0\cdot10^6\ \text{m/s}$ statmenai $B=0{,}15\ \text{T}$ ; $e=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ .

Rasti. Protoną veikiančios magnetinės jėgos modulį $F_B$ .

Modelis ir sąlygos. Protonas nereliatyvistinis, laukas vienalytis, $\vec v\perp\vec B$ , o elektrinio, gravitacinio ir kitų laukų nepaisoma.

Vienetai. Visi dydžiai pateikti SI: C, m/s ir T.

Skaičiavimas.

$F=e vB=1{,}60\cdot10^{-19}\cdot2{,}0\cdot10^6\cdot0{,}15=4{,}8\cdot10^{-14}\ \text{N}.$

Atsakymas. $4{,}8\cdot10^{-14}\ \text{N}$ .

Patikra. $\text{C}\cdot\text{m/s}\cdot\text{T}=\text{N}$ . Jėga labai maža vienai dalelei, tačiau kryptis turi būti statmena greičiui, todėl ji nekeičia kinetinės energijos.

3. Dalelės trajektorijos spindulys

Duota. Protonas, kurio $m=1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ ir $e=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , juda $v=2{,}0\cdot10^6\ \text{m/s}$ statmenai vienalyčiam $B=0{,}15\ \text{T}$ laukui.

Rasti. Apskritiminės trajektorijos spindulį $r$ .

Modelis ir sąlygos. Magnetinė Lorenco jėga yra įcentrinė, nes $\vec v\perp\vec B$ ; laukas vienalytis, protonas nereliatyvistinis, o energijos nuostolių ir kitų laukų nepaisoma.

Vienetai. Naudojame kg, m/s, C ir T; visi dydžiai SI.

Skaičiavimas.

$r=\frac{mv}{eB}=\frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2{,}0\cdot10^6}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot0{,}15}=0{,}139\ \text{m}.$

Atsakymas. Apie $0{,}14\ \text{m}$ .

Patikra. Matmenys $mv/(qB)$ duoda metrus. Įstatę $r$ į $mv^2/r$ gauname tą pačią $4{,}8\cdot10^{-14}\ \text{N}$ jėgos dydžio eilę, todėl įcentrinis balansas atitinka.

4. Lygiagrečių srovių sąveika

Duota. Du ilgi lygiagretūs laidininkai vakuume: $I_1=3{,}0\ \text{A}$ , $I_2=5{,}0\ \text{A}$ ta pačia kryptimi, $d=0{,}040\ \text{m}$ , nagrinėjamas $l=0{,}20\ \text{m}$ ruožas; $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N/A}^2$ .

Rasti. Vieno laidininko ruožą veikiančios jėgos modulį ir sąveikos pobūdį.

Modelis ir sąlygos. Laidininkai ploni bei daug ilgesni už $d$ ir $l$ nagrinėjamoje centrinėje srityje; galų efektų ir kitų laukų nepaisoma.

Vienetai. Visi dydžiai pateikti SI, o $\mu_0$ vienetai suderinti su jėga.

Skaičiavimas.

$\frac Fl=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot3{,}0\cdot5{,}0}{2\pi\cdot0{,}040}=7{,}5\cdot10^{-5}\ \text{N/m},$

$F=7{,}5\cdot10^{-5}\cdot0{,}20=1{,}5\cdot10^{-5}\ \text{N}.$

Atsakymas. $F=1{,}5\cdot10^{-5}\ \text{N}$ ; vienodos krypties srovės traukia.

Patikra. $F/l$ mažėja didinant $d$ ir didėja didinant abi sroves, kaip numato lauko modelis. Mažoms kelių amperų srovėms 4 cm atstumu mikroniutonų ruožo jėga yra tikėtina.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Magnetas ir sąvaržėlė. Geležis gali būti pritraukta prie abiejų magneto polių dėl jos domenų persitvarkymo. Vien pritraukimas neleidžia nustatyti, kuris polius artinamas.

Magnetinė jėga darbo neatlieka. Dalelės kryptis gali smarkiai keistis, tačiau $\vec F_B\perp\vec v$ , todėl momentinė galia $P=\vec F\cdot\vec v=0$ ir kinetinė energija nekinta.

Kilpa tarp magneto polių. Jei kilpos normalė statmena laukui, priešingų kraštinių jėgos sudaro didžiausią jėgų porą. Kilpos normalei susilygiavus su lauku, idealus sukamasis poveikis išnyksta. Kad variklis ir toliau suktųsi ta pačia kryptimi, valdiklis turi perjungti srovės kryptį prieš sukimo poveikiui pakeičiant ženklą.

Praktinė veikla: lauko žemėlapis ir srovės poveikis

A. Kilmė: BP_REQUIRED (§30.5.4). BP tiesiogiai reikalauja virtualiai tyrinėti elektringųjų dalelių judėjimą elektriniame ir magnetiniame lauke. Skaičiuoklėje pasirinkite mažą laiko žingsnį $\Delta t$ ir kiekvienoje eilutėje skaičiuokite $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$ , $\vec v_{k+1}=\vec v_k+\vec F_k\Delta t/m$ bei $\vec r_{k+1}=\vec r_k+\vec v_k\Delta t$ . Atskirai tirti $E\ne0,B=0$ , $E=0,B\ne0$ ir kryžminius laukus; mažinkite $\Delta t$ , kol trajektorijos matmenys nebekinta daugiau nei pasirinkta skaitine tolerancija. Tikrinkite, kad magnetiniame atvejyje $v^2$ skaitinė sklaida mažėtų, o spindulys artėtų prie $mv/(|q|B)$ . Tai virtualus skaitinis modelis, ne realaus aukštos įtampos ar vakuumo bandymo pakaitalas.

B. Kilmė: EDITORIAL. Kompasu arba magnetinio lauko jutikliu nubraižykite strypinio magneto ir mažos žemos įtampos ritės lauko kryptis. Kiekvieno taško padėtį bei $B$ rodmenį pateikite su neapibrėžtimi, keiskite ritės srovės kryptį ir stebėkite polių apsikeitimą. Srovę ribokite rezistoriumi, ritę junkite tik trumpam, kad neperkaistų; magnetus laikykite atokiau nuo implantų, laikmenų ir jautrios elektronikos.

Dažnos klaidos

Elektronų judėjimo kryptį naudoti vietoje sutartinės srovės be ženklo korekcijos.
Pamiršti $\sin\alpha$ ir jėgą skaičiuoti lygiagrečiam judėjimui.
Dešinės rankos taisyklę taikyti neigiamam krūviui neapverčiant krypties.
Magnetinę jėgą laikyti greitinančia greičio modulį.
„Įcentrinę jėgą“ pridėti kaip atskirą šalia Lorenco jėgos.
Magnetinio lauko linijas vaizduoti prasidedančias ir pasibaigiančias erdvėje.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Magnetinio lauko indukcija aprašo lauko kryptį ir poveikį judantiems krūviams.
Magnetinė jėga statmena srovei ar dalelės greičiui ir laukui.
Statmenai įskriejusi dalelė juda apskritimu nekeisdama kinetinės energijos.
Srovės kilpos magnetinis poveikis yra elektros variklio principo pagrindas.

Savikontrolė

Kada magnetinė jėga krūviui lygi nuliui?
Kodėl magnetinis laukas nekeičia taškinio krūvio kinetinės energijos?
Kaip keičiasi trajektorijos spindulys padvigubinus $B$ ?
Ką reikia pakeisti, kad ritės poliai apsikeistų?
Kodėl „įcentrinė jėga“ nėra papildoma sąveika?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 – Fizikos bendrosios programos 25 priedo §30.5 magnetinio lauko ir jo poveikio reikalavimai.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančios suvestinės 25 priedo §30.5.4 pažodinis normatyvinis tekstas.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus magnetizmo turinio atvaizdavimas.