Jėgos, vektoriai ir atstojamoji

Mokymosi tikslai

Vaizduoti vektorius masteliu ir skaidyti juos į statmenas dedamąsias.
Nubraižyti vieno pasirinkto kūno laisvojo kūno diagramą.
Apskaičiuoti kelių jėgų atstojamąją.
Taikyti transliacinės ir paprastos sukimosi pusiausvyros sąlygas.
Skirti sąveikos jėgas nuo jų atstojamosios.

Prisimink

Jėga yra vektorinis dydis: svarbus modulis, kryptis ir veikimo taškas. Jėgos neatšaukiamos vien todėl, kad jų moduliai vienodi – jos turi veikti tą patį kūną priešingomis kryptimis.

Sąvokos ir simboliai

$\vec F$ – jėga, SI vienetas niutonas (N).
Atstojamoji $\sum\vec F$ – visų tą patį kūną veikiančių jėgų vektorinė suma.
Dedamoji – vektoriaus projekcija pasirinkta kryptimi.
Laisvojo kūno diagrama – atskirai pavaizduotas kūnas ir tik jį veikiančios išorinės jėgos.
Jėgos momentas $M=Fd_\perp$ – sukamasis poveikis pasirinktos ašies atžvilgiu, SI vienetas $\text{N}\cdot\text{m}$ .
$d_\perp$ – statmenas atstumas nuo ašies iki jėgos veikimo tiesės.

Teorija: jėgos, inercija ir inertiškumas

Jėga yra kūnų arba kūno ir lauko sąveiką apibūdinantis vektorinis dydis. Kontaktinėms jėgoms priskiriamos, pavyzdžiui, atramos reakcija, trintis, įtempimas ir tamprumo jėga; gravitacinė, elektrinė ir magnetinė sąveikos gali būti modeliuojamos kaip laukų jėgos. Brėžinyje kiekvienai jėgai nurodomas veikimo taškas, kryptis ir masteliu vaizduojamas modulis.

Inercija yra reiškinys: kai kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi nuliui, inercinėje atskaitos sistemoje kūnas išlaiko rimtį arba pastovų greičio vektorių. Inertiškumas yra kūno savybė – gebėjimas priešintis greičio vektoriaus pokyčiui. Inertiškumo matas yra masė: tai pačiai atstojamajai veikiant didesnės masės kūnas įgyja mažesnį pagreitį. Todėl inercija nėra kūno „jėga“, o inercijos reiškinys ir inertiškumo savybė nėra sinonimai.

Teorija: vektorių dedamosios

Jei jėga $F$ su teigiama $x$ kryptimi sudaro kampą $\alpha$ :

$F_x=F\cos\alpha,\qquad F_y=F\sin\alpha.$

Atstojamosios dedamosios:

$R_x=\sum_i F_{ix},\qquad R_y=\sum_i F_{iy},$

$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}.$

Kryptis nustatoma pagal abiejų dedamųjų ženklus ir, kai tinka,

$\tan\theta=\frac{R_y}{R_x}.$

Vien formulė $\arctan(R_y/R_x)$ neparodo ketvirčio, todėl kryptį būtina patikrinti.

Jėgos vektoriaus grafinis skaidymas ir atstojamoji: masteliu nubrėžtos x ir y dedamosios, lygiagretainis ir įstrižainė R, kampas alfa pažymėtas nuo teigiamos x krypties

Formulės ir SI: pusiausvyra ir momentai

Materialiojo taško transliacinei pusiausvyrai

$\sum\vec F=0.$

Standžiojo kūno statinei pusiausvyrai taip pat reikia

$\sum M=0$

apie bet kurį pasirinktą tašką. Ženklų susitarimas – pavyzdžiui, prieš laikrodžio rodyklę teigiama kryptis – pasirenkamas iš anksto.

Momentas nėra energija, nors abu gali turėti vienetą $\text{N}\cdot\text{m}$ . Momento dydis priklauso nuo pasirinktos sukimosi ašies.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Statmenos jėgos

Duota. Kūną veikia $F_x=6{,}0\ \text{N}$ į rytus ir $F_y=8{,}0\ \text{N}$ į šiaurę.

Rasti. Atstojamosios modulį ir kryptį, matuojamą į šiaurę nuo rytų.

Modelis ir sąlygos. Abi jėgos veikia tą patį kūną vienu metu ir yra statmenos. Rytų kryptį laikome $+x$ , šiaurės — $+y$ ; atstojamoji yra vektorinė suma.

Vienetai. Abi dedamosios pateiktos niutonais, todėl ir atstojamosios modulis bus niutonais; kampas yra bedimensis ir pateikiamas laipsniais.

Skaičiavimas.

$R=\sqrt{6{,}0^2+8{,}0^2}=10{,}0\ \text{N}.$

$\theta=\arctan\frac{8}{6}=53{,}1^\circ.$

Atsakymas. $10{,}0\ \text{N}$ , $53{,}1^\circ$ į šiaurę nuo rytų.

Patikra. Dedamosios sudaro $6$ – $8$ – $10$ stačiakampį trikampį, todėl $R=10\ \text{N}$ . Abi dedamosios teigiamos, tad kryptis turi būti I ketvirtyje; $53{,}1^\circ$ yra tarp $0^\circ$ ir $90^\circ$ , o atstojamosios modulis didesnis už kiekvieną statmeną dedamąją.

2. Jėgos skaidymas į dedamąsias

Duota. $F=50\ \text{N}$ , kampas su horizontu $30^\circ$ .

Rasti. Horizontaliąją ir vertikaliąją jėgos dedamąsias, kai vektorius nukreiptas į dešinę ir aukštyn.

Modelis ir sąlygos. Jėgos vektorių projektuojame į dvi statmenas ašis. Kampas matuojamas nuo horizontaliosios ašies, todėl prie jo esanti dedamoji yra $F\cos\alpha$ , prieš jį — $F\sin\alpha$ .

Vienetai. Trigonometrinės funkcijos bedimensės, todėl abi dedamosios išlieka niutonais.

Skaičiavimas.

$F_x=50\cos30^\circ=43{,}3\ \text{N},$

$F_y=50\sin30^\circ=25{,}0\ \text{N}.$

Atsakymas. Horizontalioji dedamoji $43{,}3\ \text{N}$ , vertikalioji $25{,}0\ \text{N}$ pagal pasirinktą jėgos kryptį.

Patikra. $\sqrt{43{,}3^2+25{,}0^2}\approx50{,}0\ \text{N}$ atkuria pradinį modulį. Kadangi kampas tik $30^\circ$ nuo horizontalės, horizontali dedamoji pagrįstai didesnė už vertikaliąją, o abi teigiamos.

3. Svirties pusiausvyra

Duota. $300\ \text{N}$ jėga veikia $0{,}40\ \text{m}$ nuo atramos. Kitoje pusėje $F$ veikia $0{,}60\ \text{m}$ atstumu statmenai svirčiai.

Rasti. Antrosios jėgos modulį, reikalingą statinei pusiausvyrai.

Modelis ir sąlygos. Svirtis standi, abi jėgos statmenos svirčiai, jų momentai apie tą pačią atramą priešingų krypčių, o atramos reakcijos momentas apie atramą lygus nuliui. Pačios svirties svorio nepaisome.

Vienetai. Jėgos niutonais, statmeni pečiai metrais; momentų vienetas $\text{N}\cdot\text{m}$ , todėl iš lygties $F$ gaunamas niutonais.

Skaičiavimas. Pusiausvyrai momentų moduliai lygūs:

$300\cdot0{,}40=F\cdot0{,}60.$

$F=200\ \text{N}.$

Atsakymas. $200\ \text{N}$ priešingą sukimosi kryptį sukeliančios jėgos.

Patikra. Abu momentai lygūs $120\ \text{N}\cdot\text{m}$ . Didesnis $0{,}60\ \text{m}$ petys leidžia naudoti mažesnę negu $300\ \text{N}$ jėgą, todėl $200\ \text{N}$ dydžio eilė ir kryptis logiškos.

4. Lyno įtempimo dedamosios

Duota. Lempa sveria $120\ \text{N}$ ir kabo ant dviejų vienodų lynų, kurių kiekvienas su horizontu sudaro $40^\circ$ .

Rasti. Kiekvieno lyno įtempimo jėgos modulį.

Modelis ir sąlygos. Lempa yra rimties ir abu lynai simetriški, lengvi bei įtempti. Horizontalios įtempimų dedamosios panaikina viena kitą, o dviejų vertikaliųjų suma lygi $120\ \text{N}$ svoriui.

Vienetai. Svoris pateiktas niutonais, sinusas bedimensis, todėl $T$ gaunamas niutonais.

Skaičiavimas. Horizontalios dedamosios panaikina viena kitą. Vertikaliai:

$2T\sin40^\circ=120\ \text{N},$

$T=\frac{120}{2\sin40^\circ}=93{,}3\ \text{N}.$

Atsakymas. Kiekvieno lyno įtempimo jėga apie $93\ \text{N}$ .

Patikra. $2\cdot93{,}3\sin40^\circ\approx120\ \text{N}$ atkuria vertikalią pusiausvyrą. Įtempimas didesnis už pusę svorio $60\ \text{N}$ , nes vertikali yra tik dalis kiekvieno įtempimo, bet mažesnis už visą svorį — tai fiziškai prasminga šiam kampui.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Veiksmo ir atoveikio pora nėra pusiausvyra. Knygos sunkio jėga veikia knygą, o knygos gravitacinė jėga – Žemę. Jos veikia skirtingus kūnus. Knygos pusiausvyrą sudaro sunkio ir atramos reakcijos jėgos, abi veikiančios knygą.

Durų rankena. Ta pati jėga lengviau pasuka duris, kai veikia toliau nuo vyrių ir statmeniau durims, nes didėja $d_\perp$ bei momentas.

Praktinė veikla: trijų jėgų pusiausvyra

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.2.2) jėgų grafiniam vaizdavimui ir atstojamosios skaičiavimui; konkretus jėgų stalo bandymas – EDITORIAL.

Naudodami jėgų stalą arba žiedą ir tris dinamometrus sudarykite pusiausvyrą. Užrašykite jėgų modulius bei kryptis, apskaičiuokite $x$ ir $y$ dedamųjų sumas. Įvertinkite kiekvieno dinamometro ir kampo matavimo neapibrėžtį; rezultatas turi būti suderinamas su nuliu jų ribose. Nepertempkite dinamometrų, patikrinkite jų nulį ir saugokite akis nuo nutrūkusios virvelės.

Dažnos klaidos

Vienoje diagramoje maišyti skirtingus kūnus veikiančias jėgas.
Jėgų modulius sudėti aritmetiškai, nepaisant krypčių.
Svorį ir masę laikyti tuo pačiu dydžiu.
Trigonometrijos funkciją parinkti ne pagal pasirinktą kampą.
Momentui naudoti visą atstumą vietoje statmens peties.
Transliacinę pusiausvyrą laikyti pakankama ilgam standžiajam kūnui.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Atstojamoji yra vektorinė visų tą patį kūną veikiančių jėgų suma.
Laisvojo kūno diagrama apsaugo nuo skirtingų sąveikų supainiojimo.
Dedamosios leidžia nepriklausomai taikyti lygtis statmenomis kryptimis.
Standžiojo kūno pusiausvyrai būtina ir jėgų, ir momentų suma lygi nuliui.

Savikontrolė

Kokias jėgas pieštumėte ant ramiai ant stalo gulinčios knygos?
Kaip nustatyti atstojamosios krypties ketvirtį?
Kuo jėgos momentas skiriasi nuo darbo?
Kodėl veiksmo ir atoveikio jėgos viena kitos neatšaukia?
Kokios dvi sąlygos būtinos standžiojo kūno statinei pusiausvyrai?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.2.2 tekstas apie jėgų rūšis, jų grafinį vaizdavimą, atstojamąją ir kelių jėgų uždavinius.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus mechanikos turinio atvaizdavimas.