Judėjimo lygtys ir grafikai

Mokymosi tikslai

Taikyti tolygaus ir pastovaus pagreičio judėjimo lygtis.
Iš $x(t)$ , $v(t)$ ir $a(t)$ grafikų nustatyti judėjimo dydžius.
Susieti grafiko nuolydį ir plotą su fizikiniais dydžiais.
Spręsti vertikalaus bei horizontalaus metimo uždavinius, kai oro pasipriešinimas nepaisomas.
Įvertinti pasirinkto kinematinio modelio ribas.

Prisimink

Pagreitis apibūdina greičio vektoriaus kitimą, o ne patį greitį. Neigiamas pagreitis nereiškia, kad kūnas būtinai lėtėja: lėtėjama, kai greitis ir pagreitis nukreipti priešingai.

Sąvokos ir simboliai

$x_0$ , $v_0$ – pradinė koordinatė ir pradinis greitis.
$a=\Delta v/\Delta t$ – pagreitis, SI vienetas $\text{m/s}^2$ .
Tolygus judėjimas – greičio vektorius pastovus.
Tolygiai kintamas judėjimas – pagreičio vektorius pastovus.
Laisvasis kritimas – judėjimas veikiant tik sunkio jėgai.
$g$ – laisvojo kritimo pagreičio modulis; naudokite užduotyje arba priede nurodytą vertę.

Teorija: judėjimo modeliai

Tolygiam vienmačiam judėjimui:

$x=x_0+vt.$

Pastoviam pagreičiui:

$v=v_0+at,$

$x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2},$

$v^2=v_0^2+2a(x-x_0),$

$\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t.$

Šios lygtys galioja tik kai pasirinktoje atskaitos sistemoje $a$ yra pastovus. Ženklai gaunami iš pasirinktos ašies, o ne pridedami pagal atmintį.

Formulės ir SI: judėjimo lygtys ir grafikų ryšiai

$x(t)$ grafiko liestinės nuolydis yra $v$ .
$v(t)$ grafiko nuolydis yra $a$ .
Algebrinis plotas po $v(t)$ grafiku yra poslinkis.
Algebrinis plotas po $a(t)$ grafiku yra greičio pokytis.

Plotas žemiau laiko ašies yra neigiamas. Kelias randamas sudedant absoliučias atskirų poslinkių vertes.

Kinematikos grafikai ir metimo judėjimo skaidymas: x nuo t grafiko nuolydis yra greitis, v nuo t grafiko plotas yra poslinkis, o kampu mesto kūno trajektorijoje pažymėtos horizontalioji ir vertikalioji greičio dedamosios

Laisvasis kritimas ir metimas

Netoli Žemės paviršiaus, mažame aukščio intervale ir nepaisant oro pasipriešinimo, $\vec g$ laikomas pastoviu bei nukreiptu žemyn. Horizontaliai mesto kūno judėjimas skaidomas į nepriklausomas dedamąsias:

$x=v_{0x}t,\qquad y=y_0-\frac{gt^2}{2}$

pasirinkus teigiamą $y$ kryptį aukštyn. Oro pasipriešinimas realių kūnų trajektoriją keičia ir priklauso nuo greičio, formos bei terpės.

Kampu $\alpha$ į horizontą metamo kūno pradinis greitis skaidomas:

$v_{0x}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{0y}=v_0\sin\alpha.$

Tada $x(t)=x_0+v_{0x}t$ , o $y(t)=y_0+v_{0y}t-gt^2/2$ . Formulės skrydžio trukmei ar nuotoliui, kuriose nėra $y_0$ , tinka tik tada, kai nusileidimo aukštis lygus paleidimo aukščiui.

Tolygiai apskritimu judant greičio modulis pastovus, tačiau vektorius kinta, todėl yra į centrą nukreiptas pagreitis:

$a_c=\frac{v^2}{r}=\omega^2r,\qquad v=\frac{2\pi r}{T}.$

Tai kinematinis ryšys; kokia reali sąveika sukuria reikiamą atstojamąją, nustatoma dinamikos uždavinyje.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Stabdymas

Duota. $v_0=20\ \text{m/s}$ , $a=-4{,}0\ \text{m/s}^2$ , galutinis $v=0$ .

Rasti. Stabdymo trukmę ir kelią.

Modelis ir sąlygos. Judėjimas vienmatis, pagreitis pastovus, o teigiama ašis nukreipta pradinio judėjimo kryptimi. Stabdymo kelias skaičiuojamas iki pirmojo momento, kai $v=0$ ; vairuotojo reakcijos ir vėlesnio judėjimo nepaisome.

Vienetai. Visi dydžiai jau pateikti SI: $v$ — $\text{m/s}$ , $a$ — $\text{m/s}^2$ , todėl laikas gaunamas sekundėmis, poslinkis — metrais.

Skaičiavimas.

$t=\frac{v-v_0}{a}=\frac{-20}{-4{,}0}=5{,}0\ \text{s}.$

$\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{20+0}{2}\cdot5{,}0=50\ \text{m}.$

Atsakymas. $5{,}0\ \text{s}$ ir $50\ \text{m}$ ; neįskaičiuotas vairuotojo reakcijos kelias.

Patikra. $a<0$ ir $v_0>0$ , todėl greitis mažėja, o stabdymo laiko bei kelio ženklai teigiami. Kitu būdu $0^2=20^2+2(-4{,}0)\Delta x$ taip pat duoda $\Delta x=50\ \text{m}$ ; vidutinis greitis $10\ \text{m/s}$ per $5\ \text{s}$ duoda tą patį kelią ir patvirtina vienetus.

2. Duomenys iš $v(t)$ grafiko

Duota. Greitis nuo 0 iki 4 s tiesiškai didėja nuo 2 iki $10\ \text{m/s}$ , o 4–7 s išlieka $10\ \text{m/s}$ .

Rasti. Pirmojo ruožo pagreitį ir bendrą poslinkį per $7\ \text{s}$ .

Modelis ir sąlygos. Pirmame ruože $v(t)$ yra tiesė, todėl pagreitis pastovus; antrame ruože greitis pastovus. Greitis visur teigiamas, tad pasirašytas plotas po grafiku sutampa ir su keliu.

Vienetai. Greitis $\text{m/s}$ dalijamas iš sekundžių, todėl $a$ vienetas $\text{m/s}^2$ ; $v(t)$ grafiko plotas turi $(\text{m/s})\text{s}=\text{m}$ vienetą.

Skaičiavimas. Pirmojo ruožo pagreitis

$a=\frac{10-2}{4}=2{,}0\ \text{m/s}^2.$

Poslinkis – trapecijos ir stačiakampio plotai:

$\Delta x_1=\frac{2+10}{2}\cdot4=24\ \text{m},$

$\Delta x_2=10\cdot3=30\ \text{m}.$

Atsakymas. Pirmojo ruožo pagreitis $a=2{,}0\ \text{m/s}^2$ , o bendras poslinkis $54\ \text{m}$ .

Patikra. Vidutinis greitis per visą laiką $54/7\approx7{,}7\ \text{m/s}$ patenka tarp mažiausio $2$ ir didžiausio $10\ \text{m/s}$ . Trapecijos $24\ \text{m}$ ir stačiakampio $30\ \text{m}$ plotų vienetai yra metrai, o suma teigiama kaip ir visas grafikas.

3. Vertikalus metimas

Duota. Kūnas metamas aukštyn $v_0=14\ \text{m/s}$ , naudoti $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$ , oro pasipriešinimą ignoruoti.

Rasti. Laiką iki aukščiausio taško ir pakilimo aukštį.

Modelis ir sąlygos. Kūną laikome materialiuoju tašku, judantį vertikaliai vienalyčiame gravitaciniame lauke. Oro pasipriešinimo nepaisome, $g$ pastovus, o teigiama ašis nukreipta aukštyn, todėl $a=-g$ ; viršuje $v=0$ tik akimirką.

Vienetai. $v_0$ ir $g$ pateikti SI vienetais, todėl $v_0/g$ duoda sekundes, o $v_0^2/(2g)$ — metrus.

Skaičiavimas. Viršuje $v=0$ :

$t=\frac{0-14}{-9{,}8}=1{,}43\ \text{s}.$

$0=14^2-2\cdot9{,}8h,$

$h=\frac{196}{19{,}6}=10{,}0\ \text{m}.$

Atsakymas. $t\approx1{,}43\ \text{s}$ , $h=10{,}0\ \text{m}$ virš paleidimo taško.

Patikra. $g\cdot1{,}43\ \text{s}\approx14{,}0\ \text{m/s}$ panaikina pradinį greitį. Energijos patikra $v_0^2/(2g)=196/19{,}6=10{,}0\ \text{m}$ sutampa; aukščio ir laiko ženklai teigiami, vienetai teisingi, o pagreitis viršuje išlieka žemyn.

4. Horizontalus metimas

Duota. Kamuoliukas horizontaliai išlekia $8{,}0\ \text{m/s}$ greičiu iš $1{,}25\ \text{m}$ aukščio; $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Rasti. Kritimo trukmę ir horizontalų nuotolį iki žemės.

Modelis ir sąlygos. Kūnas yra materialusis taškas, oro pasipriešinimo nepaisome, žemė horizontali, o $g$ pastovus. Pradinis vertikalus greitis lygus nuliui; horizontalioji ir vertikalioji dedamosios turi tą patį laiką.

Vienetai. Aukštis metrais ir $g$ $\text{m/s}^2$ , todėl $\sqrt{2h/g}$ vienetas sekundė; padauginus iš $\text{m/s}$ gaunami metrai.

Skaičiavimas. Kritimo trukmė:

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}25}{9{,}8}}=0{,}505076\ldots\ \text{s}.$

Horizontalus nuotolis:

$x=v_{0x}t=8{,}0\sqrt{\frac{2\cdot1{,}25}{9{,}8}}=4{,}04061\ldots\ \text{m}.$

Atsakymas. Kritimo trukmė $t\approx0{,}505\ \text{s}$ , horizontalus nuotolis $x\approx4{,}0\ \text{m}$ , jei oro pasipriešinimas nereikšmingas.

Patikra. Į patikrą grąžinus neapvalintą $t$ reikšmę, $gt^2/2=1{,}25\ \text{m}$ tiksliai atkuria kritimo aukštį. Horizontalus greitis $8{,}0\ \text{m/s}$ per maždaug pusę sekundės pagrįstai duoda apie $4\ \text{m}$ ; rezultatų ženklai teigiami, vienetai ir dydžio eilė prasmingi.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Viršutinis trajektorijos taškas. Vertikaliai mesto kūno momentinis greitis aukščiausiame taške lygus nuliui, bet pagreitis tebėra $\vec g$ žemyn. Priešingu atveju kūnas ten liktų rimti.

Vienodas kritimas vakuume. Be oro pasipriešinimo skirtingų masių kūnai tame pačiame gravitaciniame lauke turi tą patį pagreitį. Ore popieriaus lapą smarkiai veikia pasipriešinimas, todėl stebėjimas nėra gryno laisvojo kritimo bandymas.

Praktinė veikla: $g$ nustatymas

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.2.1). BP tiesiogiai reikalauja eksperimentiškai nustatyti $g$ , tirti horizontaliai ir kampu mestą kūną bei analizuoti vaizdo ir jutiklių duomenis.

A. $g$ nustatymas. Naudokite vaizdo įrašą su žinomu masteliu ir kadrų dažniu. Pažymėkite saugiai krintančio nedidelio kūno $y$ koordinates vienodais laiko intervalais. Nubraižykite poslinkį nuo $t^2$ ; modelyje iš rimties nuolydžio modulis yra $g/2$ . Nurodykite nuolydžio neapibrėžtį, mastelio paralaksą, pirmojo kadro parinkimą ir oro pasipriešinimo poveikį.

B. Horizontalaus ir kampinio metimo tyrimas. Iš saugaus stalinio aukščio paleiskite lengvą kamuoliuką horizontaliai arba filmuokite jo metimą kampu prieš kontrastingą foną su mastelio liniuote. Kiekviename kadre nustatykite $x$ ir $y$ , sudarykite atskiras $x(t)$ , $y(t)$ , $v_x(t)$ ir $v_y(t)$ lenteles. Patikrinkite, ar $x(t)$ artimas tiesei, o $y(t)$ — kvadratinei priklausomybei; kampiniam metimui palyginkite iš pradinių dedamųjų prognozuotą ir išmatuotą trajektoriją. Nekoreguokite duomenų taip, kad jie priverstinai sutaptų su parabole.

Sauga. Nenaudokite aukštų vietų, sunkių ar kietų kūnų virš žmonių, pasirūpinkite tuščia kritimo zona ir nebandykite gaudyti greitai lekiančio kūno arti veido.

Dažnos klaidos

Pastovaus pagreičio lygtis taikyti kintamam pagreičiui.
Maišyti kelio ir poslinkio interpretaciją po $v(t)$ grafiku.
Neapibrėžti ašies krypties ir ženklus keisti skaičiavimo viduryje.
Aukščiausiame taške laikyti nuliniu ir greitį, ir pagreitį.
Horizontaliai mestam kūnui priskirti pradinį vertikalų greitį.
Į rezultatą neįtraukti modelio ribos – oro pasipriešinimo.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Kinematinės lygtys sieja padėtį, greitį, pagreitį ir laiką tik nurodytomis sąlygomis.
Grafiko nuolydis ir plotas leidžia pereiti tarp kinematinių dydžių.
Laisvajame kritime pagreitis nukreiptas žemyn net tada, kai kūnas kyla.
Metimo judėjimo horizontalioji ir vertikalioji dedamosios turi bendrą laiką.

Savikontrolė

Ką reiškia plotas po neigiama $v(t)$ grafiko dalimi?
Kada galima naudoti $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ ?
Kodėl neigiamas pagreitis ne visada reiškia lėtėjimą?
Koks vertikalus pradinis greitis horizontaliai metant?
Kokiu grafiku galima nustatyti $g$ iš kritimo iš rimties duomenų?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.2.1 tekstas apie kinematines lygtis ir grafikus, metimą, $g$ eksperimentą bei vaizdo ir jutiklių analizę.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus 11 klasės mechanikos turinio atvaizdavimas.

Judėjimo lygtys ir grafikai