Branduolio sandara, ryšio energija ir radioaktyvumas

Mokymosi tikslai

Apibrėžti atominį masės vienetą ir iš nuklido žymens nustatyti protonų bei neutronų skaičių.
Rezerfordo sklaidos duomenis susieti su branduolio matmenimis, tūriu ir dideliu tankiu.
Kokybiškai paaiškinti stipriosios sąveikos priklausomybę nuo atstumo ir palyginti lašo bei sluoksninį branduolio modelius.
Užrašyti alfa, beta minus, beta plius ir gama virsmus, išsaugant krūvį bei nukleonų skaičių.
Taikyti pusėjimo trukmės ir aktyvumo dėsningumus bei apskaičiuoti masės defektą ir ryšio energiją.

Prisimink

Atomo branduolys turi protonų ir neutronų. Cheminį elementą nusako protonų skaičius $Z$ , o nuklidą – ir neutronų skaičius $N$ . Branduolio virsmas gali pakeisti elementą; tai nėra cheminė reakcija.

Sąvokos ir simboliai

Nuklido žymuo ${}^{A}_{Z}X$ : $A=Z+N$ – masės skaičius.
Izotopai – to paties $Z$ , bet skirtingo $N$ nuklidai.
Atominis masės vienetas $\text{u}$ – viena dvyliktoji neutralaus anglies-12 atomo, esančio pagrindinėje būsenoje ir rimtyje, masės.
Pusėjimo trukmė $T_{1/2}$ – laikas, per kurį didelės imties nesuskilusių branduolių skaičius ir aktyvumas vidutiniškai sumažėja perpus.
Aktyvumas $\mathcal A$ – skilimų skaičius per sekundę, SI vienetas bekerelis (Bq).
Masės defektas $\Delta m$ – laisvų nukleonų masių sumos ir susieto branduolio masės skirtumas.
Ryšio energija $E_r$ – energija, reikalinga branduolį išskaidyti į laisvus nukleonus.

Teorija

Atominis masės vienetas ir branduolio matmenys

Pagal apibrėžimą $1\ \text{u}$ yra viena dvyliktoji nesusieto neutralaus anglies-12 atomo, esančio branduolio ir elektronų pagrindinėse būsenose bei rimtyje, masės:

$1\ \text{u}=\frac{m({}^{12}\mathrm C)}{12}\approx1{,}66054\cdot10^{-27}\ \text{kg},$

o energijos ekvivalentas pagal 2022 CODATA yra apytikriai

$1\ \text{u}\,c^2\approx931{,}494\ \text{MeV}.$

Rezerfordo sklaidos modelyje dideli alfa dalelių nuokrypiai rodo labai mažą teigiamo krūvio sritį. Originali analizė leido spręsti, kad branduolio matmuo mažesnis negu $10^{-14}\ \text{m}$ . Vien iš klasikinio artimiausio priartėjimo gaunama tik viršutinė skalės riba: alfa dalelė gali apsisukti dėl Kulono stūmos dar nepasiekusi branduolio paviršiaus.

Rezerfordo sklaidos duomenų skaitinis įvertis

Tarkime, kad $K_\alpha=5{,}0\ \text{MeV}$ alfa dalelė juda tiesiai į aukso branduolį ( $Z=79$ ). Kraštiniame klasikiniame modelyje visa kinetinė energija artimiausiame taške virsta Kulono potencine energija:

$K_\alpha=\frac{k_e(2e)(Ze)}{r_{\min}},\qquad r_{\min}=\frac{2Zk_ee^2}{K_\alpha}.$

Naudojant $K_\alpha=5{,}0\cdot10^6e\ \text{J}$ gaunama

$r_{\min}=4{,}55\cdot10^{-14}\ \text{m}.$

Kadangi dalelė šiame modelyje apsisuka dar nepalietusi branduolio, tai yra tik viršutinė teigiamo krūvio srities matmens riba, ne išmatuotas branduolio spindulys. Šiuolaikiniam aukso-197 įverčiui $R=1{,}2\ \text{fm}\cdot197^{1/3}=6{,}98\ \text{fm}$ . Tada

$V=\frac{4\pi R^3}{3}=1{,}43\cdot10^{-42}\ \text{m}^3,$

$m\approx197\ \text{u}=3{,}27\cdot10^{-25}\ \text{kg},\qquad \rho=\frac mV=2{,}29\cdot10^{17}\ \text{kg/m}^3.$

Taigi sklaidos faktas nustato labai mažą krūvio sritį, o vėlesnio empirinio spindulio modelio duomenys leidžia įvertinti tūrį ir tankį. Šių dviejų įverčių negalima sutapatinti: $r_{\min}$ priklauso nuo alfa dalelės energijos, o $R$ – nuo branduolio dydžio modelio.

Vėlesni sklaidos matavimai branduolio spindulį apytikriai aprašo

$R=r_0A^{1/3},\qquad r_0\approx1{,}2\ \text{fm}.$

Tuomet $V\approx4\pi R^3/3\propto A$ , o masė taip pat apytikriai proporcinga $A$ , todėl daugumos branduolių vidutinis tankis yra panašus – apie $10^{17}\ \text{kg/m}^3$ dydžio eilės. Tai modelinė vidutinė reikšmė, ne teiginys apie aštrų vienodo tankio kraštą.

Stiprioji sąveika ir branduolio modeliai

Protonus ir neutronus branduolyje sieja liekamoji stiprioji sąveika. Jos efektyvus nukleonų tarpusavio potencialas nėra paprasta $1/r^2$ jėga: kelių femtometrų skalėje sąveika greitai silpsta, maždaug nukleonų atstumu turi traukos sritį, o labai mažais atstumais išryškėja stipriai atstumianti šerdis. Tai padeda paaiškinti ir branduolio susietumą, ir beveik pastovų tankį. Šis efektyvus nukleonų aprašas nėra tapatus fundamentaliai kvarkus bei gliuonus aprašančiai kvantinei chromodinamikai.

Branduolys turi diskrečias pagrindinę ir sužadintąsias energijos būsenas $E_0<E_1<E_2<\ldots$ . Pereidamas iš $E_i$ į $E_f<E_i$ jis gali skleisti $E_\gamma=E_i-E_f$ gama kvantą, tačiau leistinus perėjimus dar riboja kampinio momento ir pariteto taisyklės.

Planetinis atomo modelis istoriškai padeda pereiti nuo centrinio objekto ir aplink jį susietų dalelių vaizdinio prie energijos lygmenų schemos, tačiau ši analogija turi griežtą ribą: nukleonai branduolyje nejuda apibrėžtomis klasikinėmis orbitomis. Branduolio diskretūs lygmenys yra kvantinės sistemos būsenos, todėl planetinio modelio trajektorijų negalima perkelti pažodžiui.

Klasikinio skysčio lašo analogija paremtas pusiau empirinis modelis branduolį aprašo kolektyviai: tūrio, paviršiaus, Kulono ir kitais energijos dėmenimis. Jis naudingas masių tendencijoms, deformacijai ir skilimui aiškinti, bet nepaaiškina visų „magiškųjų“ nukleonų skaičių ir smulkių lygmenų.
Kvantinis sluoksninis modelis nukleonus talpina kvantuotuose vienadaleliuose lygmenyse vidutiniame potenciale. Jis paaiškina sluoksnių užsipildymą, magiškuosius skaičius, sukinio ir pariteto dėsningumus, tačiau kolektyviniams virpesiams ar skilimui dažnai reikia papildomų modelių.

Modeliai yra papildantys, o ne vienas kitą visur pakeičiantys: lašo analogija naudinga kolektyviniams energijos, deformacijos ir skilimo dėsningumams, o sluoksninis modelis – individualių lygmenų, magiškųjų skaičių, sukinio ir pariteto uždaviniams. Jų pritaikymo srities bei ribų įvardijimas yra fizikinio modeliavimo dalis.

Nuklidai ir radioaktyvieji virsmai

Alfa virsme išlekia helio-4 branduolys:

$^{A}_{Z}X\rightarrow{}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^{4}_{2}\mathrm{He}.$

Beta minus virsme branduolio neutronas virsta protonu, elektronu ir elektroniniu antineutrinu:

$^{A}_{Z}X\rightarrow{}^{A}_{Z+1}Y+e^-+\bar\nu_e.$

Beta plius virsme protonas virsta neutronu, pozitronu ir elektroniniu neutrinu:

$^{A}_{Z}X\rightarrow{}^{A}_{Z-1}Y+e^++\nu_e.$

Gama virsme sužadintas branduolys pereina į mažesnės energijos būseną; $A$ ir $Z$ nekinta. Neutrinas beta virsmuose būtinas energijos, judesio kiekio ir kampinio momento balansui, nors sutrumpintose schemose kartais neparodomas.

Spinduliuotė	Krūvis ir tipinė sąveika su medžiaga	Skvarba bei ekranavimas	Biologinio poveikio modelio akcentas
Alfa ( ${}^4_2\mathrm{He}$ branduoliai)	$+2e$ ; tankiai jonizuoja trumpame kelyje	Ore nueina trumpą kelią, ją sustabdo popierius ar paviršinis negyvas odos sluoksnis	Išorinis šaltinis paprastai mažiau pavojingas gilesniems audiniams, tačiau įkvėptas ar prarytas alfa šaltinis gali stipriai pažeisti audinį mažame tūryje
Beta ( $e^-$ arba $e^+$ )	$-e$ arba $+e$ ; jonizuoja ir sklaidosi, lėtėdama gali skleisti stabdomąją spinduliuotę	Skvarbesnė už alfa; ekranas parenkamas pagal energiją ir turi įvertinti antrinę stabdomąją spinduliuotę	Gali veikti odą iš išorės ir audinius, jei radionuklidas patenka į organizmą; poveikis priklauso nuo sugertos energijos bei geometrijos
Gama (fotonai)	Krūvio neturi; energiją perduoda per fotoelektrinį efektą, Komptono sklaidą ar, esant pakankamai energijai, porų susidarymą	Paprastai giliai skvarbi; slopinama pakankamu tankios medžiagos storiu, bet vienas ekranas nesuteikia absoliučios ribos	Svarbi išorinei viso kūno ar gilesnių audinių apšvitai; biologinį efektą lemia sugertoji dozė, audinys, energija ir ekspozicijos sąlygos

„Labiau jonizuojanti“ nėra „visada pavojingesnė“ be sąlygų. Rizikai būtina atskirti išorinę apšvitą nuo radionuklido patekimo į organizmą, sugertąją dozę, paveiktą audinį, spinduliuotės energiją ir poveikio trukmę.

Radioaktyviojo skilimo dėsningumas

Atskiras skilimo momentas yra atsitiktinis. Didelei vienodų branduolių imčiai:

$N(t)=N_0e^{-\lambda t}=N_0\,2^{-t/T_{1/2}},$

$\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}},\qquad \mathcal A=\lambda N.$

Pusėjimo trukmė nepriklauso nuo pradinio branduolių skaičiaus. Įprasti temperatūros, slėgio ar cheminės būsenos pokyčiai daugumos branduolinių skilimų jos reikšmingai nekeičia; tai yra modelio taikymo taisyklė, turinti specialių išimčių.

Detektorius registruoja ne kiekvieną skilimą. Skaičiavimo spartą veikia geometrija, efektyvumas, slopinimas, miręs laikas ir fonas. Todėl impulsai per sekundę nėra automatiškai lygūs šaltinio aktyvumui bekereliais.

Masės defektas ir ryšio energija

Naudojant branduolio mases:

$\Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{brand}},\qquad E_r=\Delta mc^2.$

Naudojant neutraliųjų atomų mases patogiau protonų masę pakeisti neutralaus vandenilio atomo mase, kad elektronų masės būtų nuosekliai apskaitytos. Branduolių ir neutraliųjų atomų masių negalima maišyti be elektronų pataisos.

Savitąją ryšio energiją $E_r/A$ naudojame branduolių susietumui palyginti. Vien jos nepakanka skilimo tikimybei ar pusėjimo trukmei prognozuoti, nes svarbios energijos barjeros ir kvantinės perėjimų taisyklės.

Formulės ir SI vienetai

$N=A-Z$ ; $A$ , $Z$ ir $N$ yra dalelių skaičiai.
$R\approx r_0A^{1/3}$ , $r_0\approx1{,}2\ \text{fm}$ – empirinis vidutinio spindulio modelis.
$N=N_0\,2^{-t/T_{1/2}}$ ir $\lambda=\ln2/T_{1/2}$ .
$\mathcal A=\lambda N$ ; $\mathcal A$ – Bq = s⁻¹, jei $\lambda$ – s⁻¹.
$\Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{brand}}$ naudojant branduolių mases.
$E_r=\Delta mc^2$ ; $1\ \text{u}c^2\approx931{,}494\ \text{MeV}$ .

Išspręsti pavyzdžiai

1. Likusi radioaktyviųjų branduolių dalis

Duota. $N_0=8{,}0\cdot10^6$ , $T_{1/2}=6{,}0\ \text{h}$ , $t=18{,}0\ \text{h}$ .

Rasti. Likusių branduolių skaičių $N$ ir jų dalį nuo pradinio skaičiaus.

Modelis ir sąlygos. Taikome vieno radionuklido eksponentinį skilimą didelei imčiai. Nepaisome dukterinio nuklido aktyvumo ir medžiagos praradimo kitais būdais.

Vienetai. $t$ ir $T_{1/2}$ pateikti tomis pačiomis valandomis, todėl jų santykis bedimensis; į sekundes keisti nereikia.

Skaičiavimas. Praėjo

$\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{18{,}0}{6{,}0}=3$

pusėjimo trukmės. Todėl

$N=N_0\,2^{-3}=\frac{8{,}0\cdot10^6}{8}=1{,}0\cdot10^6,$

$\frac{N}{N_0}=0{,}125=12{,}5\%.$

Atsakymas. Liko $1{,}0\cdot10^6$ branduolių, arba $12{,}5\%$ pradinės imties.

Patikra. Po trijų pusėjimų turi likti $1/8$ imties; gautas skaičius yra mažesnis už $N_0$ ir tiksliai atitinka šią ribą.

2. Aktyvumas iš branduolių skaičiaus

Duota. $N=5{,}00\cdot10^{12}$ , $T_{1/2}=8{,}00\ \text{paros}$ .

Rasti. Skilimo konstantą $\lambda$ ir aktyvumą $\mathcal A$ .

Modelis ir sąlygos. Laikome vieną radionuklidą ir momentinį aktyvumą. Detektoriaus efektyvumo nenaudojame, nes skaičiuojame paties šaltinio aktyvumą iš $N$ .

Vienetai. $8{,}00\ \text{paros}=8{,}00\cdot86400=691200\ \text{s}$ , todėl $\lambda$ bus s⁻¹, o aktyvumas – Bq.

Skaičiavimas.

$\lambda=\frac{\ln2}{691200}=1{,}002817\cdot10^{-6}\ \text{s}^{-1},$

$\mathcal A=\lambda N=(1{,}002817\cdot10^{-6})(5{,}00\cdot10^{12})=5{,}014086\cdot10^6\ \text{s}^{-1}.$

Atsakymas. $\lambda\approx1{,}00\cdot10^{-6}\ \text{s}^{-1}$ , $\mathcal A\approx5{,}01\ \text{MBq}$ .

Patikra. $\lambda N$ vienetas yra s⁻¹ = Bq. Per vieną sekundę skyla tik maždaug milijonoji imties dalis, todėl kelių milijonų Bq dydžio eilė suderinama su $5\cdot10^{12}$ branduolių.

3. Helio-4 branduolio ryšio energija

Duota. 2022 CODATA branduolių masės: $m_p=1{,}0072764665789\ \text{u}$ , $m_n=1{,}00866491606\ \text{u}$ , $m_\alpha=4{,}001506179129\ \text{u}$ ; $1\ \text{u}c^2=931{,}49410372\ \text{MeV}$ .

Rasti. Masės defektą $\Delta m$ , ryšio energiją $E_r$ ir $E_r/A$ .

Modelis ir sąlygos. Visos trys pateiktos masės yra branduolių, todėl elektronų pataisos nereikia. Nepaisome pateiktų konstantų neapibrėžčių, bet neapvaliname tarpinių rezultatų.

Vienetai. Masės defektas lieka u, o padauginus iš $931{,}49410372\ \text{MeV/u}$ gaunama MeV.

Skaičiavimas.

$\Delta m=2m_p+2m_n-m_\alpha=0{,}030376586149\ \text{u},$

$E_r=(0{,}030376586149)(931{,}49410372)=28{,}29561089\ \text{MeV},$

$\frac{E_r}{A}=\frac{28{,}29561089}{4}=7{,}073902722\ \text{MeV/nukleonui}.$

Atsakymas. $\Delta m\approx0{,}03038\ \text{u}$ , $E_r\approx28{,}30\ \text{MeV}$ , $E_r/A\approx7{,}074\ \text{MeV/nukleonui}$ .

Patikra. Masės defektas teigiamas, todėl susidarant branduoliui energija išsiskiria. Keturguba savitoji energija grąžina visą $28{,}30\ \text{MeV}$ ryšio energiją, o vienetai atitinka energijos matmenį.

4. Aukso branduolio spindulys, tūris ir tankis

Duota. Aukso-197 branduoliui $A=197$ , $r_0=1{,}20\ \text{fm}$ , $1\ \text{u}=1{,}66053906892\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .

Rasti. Modelinį spindulį $R$ , tūrį $V$ ir vidutinį tankį $\rho$ .

Modelis ir sąlygos. Naudojame iš sklaidos duomenų gautą empirinį $R=r_0A^{1/3}$ ir sferinį vienodo vidutinio tankio modelį. Tai nėra teiginys apie aštrų realaus branduolio kraštą.

Vienetai. $1\ \text{fm}=10^{-15}\ \text{m}$ ; branduolio masę aproksimuojame $m\approx A\,\text{u}$ .

Skaičiavimas.

$R=1{,}20\sqrt[3]{197}=6{,}982377441\ \text{fm}=6{,}982377441\cdot10^{-15}\ \text{m},$

$V=\frac{4\pi R^3}{3}=1{,}425931206\cdot10^{-42}\ \text{m}^3,$

$m\approx197(1{,}66053906892\cdot10^{-27})=3{,}271261966\cdot10^{-25}\ \text{kg},$

$\rho=\frac{m}{V}=2{,}294123273\cdot10^{17}\ \text{kg/m}^3.$

Atsakymas. $R\approx6{,}98\ \text{fm}$ , $V\approx1{,}43\cdot10^{-42}\ \text{m}^3$ , $\rho\approx2{,}29\cdot10^{17}\ \text{kg/m}^3$ .

Patikra. Spindulys mažesnis už istorinę $10^{-14}\ \text{m}$ viršutinę skalę, o tankio dydžio eilė $10^{17}\ \text{kg/m}^3$ yra tikėtina branduolinei medžiagai. Matmenys $\text{kg}/\text{m}^3$ teisingi.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Vienas branduolys. Negalima sakyti, kad konkretus branduolys „po vienos pusėjimo trukmės bus pusiau suskilęs“. Jis arba dar nesuskilęs, arba suskilęs; pusėjimo trukmė apibūdina didelės imties tikimybinį kitimą.

Kodėl vieno branduolio modelio nepakanka? Lašo modelis gerai parodo kolektyvinį skilimą, o sluoksninis modelis – diskrečius lygmenis ir magiškuosius skaičius. Jei vienas modelis nepaaiškina reiškinio, tai neleidžia savavališkai maišyti jų formulių; reikia įvardyti naują prielaidų rinkinį.

Praktinė veikla — `BP_REQUIRED`: pusėjimo trukmė ir fono statistika

Kilmė: BP_REQUIRED — PH12-A03-R03-E08. Programa leidžia eksperimentinį arba virtualų pasirinktos medžiagos pusėjimo trukmės nustatymą.

Naudokite kompiuterinį skilimo modelį arba mokytojo pateiktus trumpos pusėjimo trukmės šaltinio duomenis. Vienodais intervalais registruokite foną ir signalą, iš kiekvieno intervalo atimkite pagal trukmę normalizuotą foną. Braižykite $\ln R$ priklausomybę nuo $t$ ir iš tiesės nuolydžio raskite $\lambda$ bei $T_{1/2}$ . Pateikite regresijos neapibrėžtį ir liekanas; nulinių ar neigiamų fonu pataisytų taškų logaritmuoti negalima.

Sauga. Pirmenybė teikiama simuliacijai arba iš anksto pateiktiems duomenims. Licencijuotą uždarą demonstracinį šaltinį tvarko tik atsakingas darbuotojas pagal radiacinės saugos procedūras; mokiniai šaltinio neliečia ir neatidaro.

Dažnos klaidos

Masės skaičių $A$ painioti su aktyvumu $\mathcal A$ .
Atominį masės vienetą vadinti tiesiog protono ar neutrono mase.
Rezerfordo artimiausio priartėjimo nuotolį automatiškai laikyti tiksliu branduolio spinduliu.
Liekamąją nukleonų sąveiką tapatinti su paprasta nekintama „stipriosios jėgos formule“.
Pusėjimo trukmę laikyti atskiro branduolio garantuotu gyvenimo laiku.
Maišyti neutraliųjų atomų ir branduolių mases viename masės defekto skaičiavime.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

$1\ \text{u}$ apibrėžiamas anglies-12 atomu; jo energijos ekvivalentas yra apie $931{,}494\ \text{MeV}$ .
Sklaidos duomenys rodo femtometrinį branduolio dydį ir maždaug $10^{17}\ \text{kg/m}^3$ tankio eilę.
Liekamoji stiprioji sąveika yra trumpo nuotolio ir turi traukos bei labai trumpo nuotolio atostūmio sritis.
Lašo ir sluoksninis modeliai aprašo skirtingas branduolio savybes.
Radioaktyvusis skilimas yra atsitiktinis atskiram branduoliui, bet prognozuojamas didelei imčiai.
Masės defektas per $E=mc^2$ susijęs su branduolio ryšio energija.

Savikontrolė

Kaip apibrėžiamas atominis masės vienetas?
Ką Rezerfordo sklaida leidžia pasakyti apie branduolio dydį ir ko neleidžia nustatyti tiesiogiai?
Kuo lašo modelis skiriasi nuo sluoksninio modelio?
Ką tiksliai reiškia pusėjimo trukmė?
Kada masės defekto skaičiavime galima naudoti neutraliųjų atomų mases?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – §31.3.3 elementai PH12-A03-R03-E01a–E08 ir E11.
PHY-SRC-NIST-CODATA-2022 – atominio masės vieneto, nukleonų masių ir energijos ekvivalento reikšmės.
PHY-SRC-OPENSTAX-UP3-NUCLEAR-PROPERTIES – OpenStax §10.1 „Properties of Nuclei“, „Nuclear Size“: $R=r_0A^{1/3}$ modelis, $r_0$ įvertis ir modelinio tankio ribos.
OpenStax Boro vandenilio modelis – Kulono potencinės energijos ryšys, naudojamas redakciniam artimiausio priartėjimo išvedimui.
Nobelio premijos institucijos dalelių istorijos apžvalga – Rezerfordo sklaidos ir branduolio dydžio istorinis patikrinimas.
JAV energetikos departamento nukleonų trumpojo nuotolio sąveikos apžvalga – efektyvios atostūmio srities patikra.

Branduolio sandara, ryšio energija ir radioaktyvumas