Lęšiai ir optinės sistemos

Mokymosi tikslai

Konstrukciniais spinduliais rasti glaudžiamojo ir sklaidomojo lęšio atvaizdus.
Taikyti vieną aiškiai apibrėžtą plonojo lęšio ženklų konvenciją.
Apskaičiuoti atvaizdo vietą, tiesinį didinimą ir optinę galią.
Paaiškinti akies, fotoaparato, lupos, mikroskopo ar teleskopo veikimą bei paprasto modelio ribas.

Prisimink

Tikrasis atvaizdas susidaro ten, kur šviesos spinduliai iš tikrųjų susikerta, todėl jį galima projektuoti į ekraną. Menamasis atvaizdas yra skleidžiamų spindulių tęsinių susikirtimo vieta ir ekrane negaunamas.

Sąvokos ir simboliai

Optinis centras, pagrindinė optinė ašis, židinys ir židinio nuotolis $f$ .
Glaudžiamasis lęšis šiame susitarime turi $f\gt0$ , sklaidomasis – $f\lt0$ .
$d_o$ – daikto atstumas, $d_i$ – atvaizdo atstumas.
$m=h_i/h_o$ – tiesinis didinimas; minusas reiškia apverstą atvaizdą pasirinktoje konvencijoje.
Optinė galia $D=1/f$ , vienetas dioptrija (D), lygi m⁻¹.

Teorija

Konstrukciniai spinduliai

Plonajam glaudžiamajam lęšiui naudojami trys spinduliai:

Lygiagrečiai optinei ašiai kritęs spindulys už lęšio eina per tolimąjį židinį.
Per artimąjį židinį į lęšį einantis spindulys už lęšio sklinda lygiagrečiai ašiai.
Per optinį centrą einantis paraksialus spindulys supaprastintame modelyje krypties nekeičia.

Sklaidomasis lęšis lygiagretų spindulį išsklaido taip, tarsi jis sklistų iš artimojo židinio. Atvaizdą patikimai nustatome pagal bent dviejų spindulių sankirtą arba jų tęsinius.

Plonojo lęšio formulė

Šioje pamokoje naudojame susitarimą, pagal kurį tikrieji atstumai yra teigiami: realus daiktas turi $d_o\gt0$ , tikrasis atvaizdas – $d_i\gt0$ , menamasis – $d_i\lt0$ , glaudžiamasis lęšis – $f\gt0$ , sklaidomasis – $f\lt0$ . Tuomet

$\frac1f=\frac1{d_o}+\frac1{d_i},$

$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.$

Kitos užduotys gali pateikti kitą ženklų susitarimą. Jo negalima maišyti su šiuo: pirmiausia perskaitykite užduotyje apibrėžtus ženklus.

Formulė remiasi plonojo lęšio ir paraksialinių spindulių artiniu. Storiems lęšiams, plačiam kampui, skirtingoms spalvoms ar tikslioms optinėms sistemoms reikia pagrindinių plokštumų ir aberacijų analizės.

Optiniai prietaisai

Fotoaparatas ir akis tinklainėje arba jutiklyje sudaro tikrą apverstą atvaizdą. Akis fokusuoja keisdama lęšiuko formą; kamera – objektyvo padėtį ar elementų konfigūraciją. Lupa sukuria padidintą menamą atvaizdą, kai daiktas yra arčiau glaudžiamojo lęšio negu jo židinys. Mikroskopas bei teleskopas naudoja kelis optinius elementus, todėl vieno lęšio formulė taikoma etapais, ne visai sistemai aklai.

Korekciniams ploniems lęšiams arti vienas kito optinės galios apytiksliai sudedamos: $D_{\text{sum}}\approx D_1+D_2$ . Atskirtiems lęšiams ši paprasta suma nebetiksli.

Aberacijos, diafragma ir modelio kokybė

Idealus plonasis lęšis visus iš vieno daikto taško sklindančius paraksialinius vienos spalvos spindulius suveda į vieną atvaizdo tašką. Realus sferinis lęšis taip nesielgia. Toliau nuo optinės ašies einantys spinduliai gali susikirsti kitu atstumu – tai sferinė aberacija. Kadangi lūžio rodiklis priklauso nuo bangos ilgio, skirtingos spalvos turi skirtingus židinio nuotolius – tai chromatinė aberacija. Sudėtiniai objektyvai šiuos trūkumus mažina kelių medžiagų ir paviršių deriniu.

Diafragma sulaiko kraštinius spindulius, todėl geometrinės aberacijos mažėja ir ryškaus vaizdo nuotolių sritis gali padidėti. Tačiau pro mažą angą patenka mažiau šviesos, o angai tapus labai mažai ryškėja difrakcija. Taigi vien „kuo mažesnė anga, tuo geresnis vaizdas“ nėra teisinga universali taisyklė.

Akies optika irgi nėra vienas nekintamas plonasis lęšis. Fokusavimas vyksta keičiant lęšiuko optinę galią, vyzdys reguliuoja šviesos srautą, o tinklainė yra išgaubtas jutiklis. Trumparegystės ar toliaregystės korekciją galima kokybiškai aiškinti sklaidomaisiais arba glaudžiamaisiais lęšiais, bet individualus akinių stiprumas nenustatomas vien iš šios mokyklinės formulės – tam reikia profesionalaus regos tyrimo.

Kaip patikrinti atvaizdo sprendimą

Prieš skaičiuojant verta nubrėžti bent du konstrukcinius spindulius. Brėžinys parodo, kurioje lęšio pusėje tikėtis atvaizdo, ar jis status, ar apverstas, padidintas ar sumažintas. Tada pasirenkama ženklų konvencija ir visi atstumai paverčiami tais pačiais vienetais. Gautas $d_i$ ženklas turi sutapti su brėžiniu, o $|m|$ – su tikėtinu dydžio pokyčiu.

Jei glaudžiamojo lęšio realus daiktas yra toliau negu $2f$ , tikrasis atvaizdas turi būti tarp $f$ ir $2f$ ir sumažintas. Ties $2f$ jis tokio pat dydžio. Tarp $f$ ir $2f$ atvaizdas tikrasis, už $2f$ ir padidintas. Kai $d_o\lt f$ , atvaizdas menamasis ir status. Šios kokybinės taisyklės leidžia pastebėti apverstą trupmeną ar neteisingą ženklą dar prieš pateikiant atsakymą.

Eksperimente židinio nuotolis nėra tiesiog bet koks atstumas, kuriame vaizdas „atrodo ryškus“. Reikia aiškaus ryškumo kriterijaus, kelių pakartojimų ir lęšio padėties atskaitos taško. Storo lęšio atstumą matuojant nuo rėmelio, o ne nuo pagrindinės plokštumos, gali atsirasti sisteminė paklaida. Atstumų neapibrėžtys persiduoda apskaičiuotam $f$ , todėl kelių matavimų sklaida yra svarbi rezultato dalis.

Formulės ir SI vienetai

$1/f=1/d_o+1/d_i$ ; visi atstumai turi būti tais pačiais vienetais.
$m=-d_i/d_o=h_i/h_o$ ; didinimas bedimensis.
$D=1/f$ , kai $f$ metrais; $D$ vienetas m⁻¹, vadinamas dioptrija.
$D_{\text{sum}}\approx D_1+D_2$ tik ploniems, arti vienas kito esantiems lęšiams.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Tikrasis glaudžiamojo lęšio atvaizdas

Duota. $f=10{,}0\ \text{cm}$ , $d_o=30{,}0\ \text{cm}$ , daikto aukštis $h_o=4{,}0\ \text{cm}$ .

Rasti. $d_i$ , didinimą $m$ ir atvaizdo aukštį $h_i$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome pamokoje apibrėžtą ženklų konvenciją, kurioje tikrieji atstumai teigiami, ir plono glaudžiamojo lęšio bei paraksialinių vienos spalvos spindulių modelį.

Vienetai. Visi ilgiai pateikti centimetrais ir formulėje vartojami tuo pačiu vienetu; didinimas bedimensis.

Skaičiavimas.

$\frac1{d_i}=\frac1f-\frac1{d_o} =\frac1{10{,}0}-\frac1{30{,}0}=\frac1{15{,}0},$

todėl $d_i=15{,}0\ \text{cm}$ .

$m=-\frac{15{,}0}{30{,}0}=-0{,}500,$

$h_i=mh_o=-0{,}500\cdot4{,}0=-2{,}0\ \text{cm}.$

Atsakymas. $d_i=15{,}0\ \text{cm}$ , $m=-0{,}500$ , $h_i=-2{,}0\ \text{cm}$ : atvaizdas tikrasis, apverstas ir jo aukščio modulis $2{,}0\ \text{cm}$ .

Patikra. Kadangi $d_o=3f>2f$ , tikrasis atvaizdas turi būti tarp $f$ ir $2f$ , sumažintas bei apverstas. $d_i=15{,}0$ cm ir $m=-0{,}500$ tiksliai atitinka šias kokybines ribas.

2. Lupa – menamasis atvaizdas

Duota. $f=10{,}0\ \text{cm}$ , $d_o=6{,}0\ \text{cm}$ .

Rasti. $d_i$ , $m$ ir atvaizdo pobūdį.

Modelis ir sąlygos. Naudojame tą pačią pamokoje apibrėžtą ženklų konvenciją ir plonojo lęšio artinį; realus daiktas yra židinio viduje, nes $d_o<f$ .

Vienetai. $f$ ir $d_o$ abu centimetrais, todėl $d_i$ gausime centimetrais; $m$ bedimensis.

Skaičiavimas.

$\frac1{d_i}=\frac1{10{,}0}-\frac1{6{,}0}=-\frac1{15{,}0},$

todėl $d_i=-15{,}0\ \text{cm}$ .

$m=-\frac{-15{,}0}{6{,}0}=2{,}50.$

Atsakymas. $d_i=-15{,}0\ \text{cm}$ , $m=+2{,}50$ : atvaizdas menamasis, status ir 2,50 karto didesnis.

Patikra. $d_i<0$ rodo menamą atvaizdą daikto pusėje, o $m>0$ — statų. Kadangi daiktas yra židinio viduje, $|m|>1$ ir gauta 2,50 reikšmė fiziškai prasminga lupai.

3. Sklaidomasis lęšis

Duota. $f=-0{,}250\ \text{m}$ , $d_o=0{,}500\ \text{m}$ .

Rasti. $d_i$ , $m$ ir atvaizdo pobūdį.

Modelis ir sąlygos. Plonas sklaidomasis lęšis turi $f<0$ ; daiktas realus, o spinduliai paraksialiniai. Naudojame pamokoje apibrėžtą ženklų konvenciją.

Vienetai. Abu atstumai metrais, atvirkštiniai dydžiai m⁻¹; didinimas bedimensis.

Skaičiavimas.

$\frac1{d_i}=\frac1{-0{,}250}-\frac1{0{,}500}=-4{,}00-2{,}00=-6{,}00\ \text{m}^{-1},$

$d_i=-\frac16\ \text{m}\approx-0{,}167\ \text{m},\qquad m=-\frac{-1/6}{0{,}500}=\frac13\approx0{,}333.$

Atsakymas. $d_i\approx-0{,}167\ \text{m}$ ir $m\approx+0{,}333$ : menamasis, status ir tris kartus sumažintas atvaizdas susidaro apie 16,7 cm prieš lęšį.

Patikra. Sklaidomasis lęšis realiam daiktui turi duoti $d_i<0$ ir $0<m<1$ ; gautos $-0{,}167$ m bei 0,333 reikšmės atitinka. Atgal įstatytos į lęšio lygtį jos duoda $-4{,}00$ m⁻¹.

4. Optinė galia

Duota. Akinių lęšio židinio nuotolis $f=-0{,}50\ \text{m}$ .

Rasti. Optinę galią $D$ .

Modelis ir sąlygos. Akinių lęšį laikome plonu; optinė galia apibrėžta $D=1/f$ , o židinio nuotolio ženklas atitinka pasirinktą konvenciją.

Vienetai. $f$ jau metrais, todėl $1/f$ vienetas m⁻¹ = dioptrija.

Skaičiavimas.

$D=\frac1f=\frac1{-0{,}50}=-2{,}0\ \text{m}^{-1}.$

Atsakymas. Lęšio optinė galia $-2{,}0\ \text{D}$ ; minusas reiškia sklaidomąjį lęšį.

Patikra. $1/(-2{,}0\ \text{m}^{-1})=-0{,}50$ m atkuria duotą židinio nuotolį. Neigiamas ženklas nuosekliai atitinka sklaidomąjį, o 2 D modulis yra teisingos dydžio eilės.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Uždengta pusė lęšio. Kiekvieną atvaizdo tašką pasiekia spinduliai iš daugelio lęšio vietų. Uždengus pusę, visas atvaizdas išlieka, bet tampa tamsesnis ir gali pakisti jo kokybė; pusė atvaizdo nepranyksta.

Daiktas židinyje. Idealiame modelyje už lęšio spinduliai tampa lygiagretūs, todėl baigtiniu atstumu ryškaus atvaizdo ekrane negausime. Formulėje tai atitinka $d_i\to\infty$ .

Praktinė veikla: židinio nuotolio nustatymas

Kilmė: EDITORIAL. Glaudžiamuoju lęšiu ekrane sudarykite tolimo, saugaus objekto atvaizdą ir išmatuokite atstumą iki lęšio – jis apytiksliai lygus $f$ . Tikslesniam bandymui kelioms $d_o$ vertėms išmatuokite $d_i$ ir tikrinkite tiesinę $1/d_i$ priklausomybę nuo $1/d_o$ . Kiekvieną ryškiausios padėties matavimą pakartokite artėdami prie ekrano iš abiejų pusių; pusė padėčių skirtumo yra ryškumo nustatymo neapibrėžties įvertis. Niekada nefokusuokite Saulės į ekraną ar akis: židinyje galia gali pažeisti regą ir uždegti medžiagas.

Dažnos klaidos

Sumaišyti skirtingas ženklų konvencijas.
Menamą atvaizdą bandyti gauti ekrane.
Optinę galią skaičiuoti iš židinio nuotolio centimetrais, ne metrais.
Didinimo minuso laikyti „neigiamu dydžiu“, o ne orientacijos ženklu.
Vieno plonojo lęšio formulę be išlygų taikyti storam arba kelių lęšių objektyvui.
Manyti, kad uždengus pusę lęšio dingsta pusė atvaizdo.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Atvaizdo pobūdį nustato spindulių sankirta ir daikto padėtis židinio atžvilgiu.
Plonojo lęšio formulę būtina taikyti su viena nuoseklia ženklų konvencija.
Optinė galia lygi atvirkštiniam židinio nuotoliui metrais.
Realios optinės sistemos turi storio, chromatinės ir geometrinės aberacijos ribas.

Savikontrolė

Kuo tikrasis atvaizdas skiriasi nuo menamojo?
Ką pasirinktoje konvencijoje reiškia neigiamas $d_i$ ?
Kada glaudžiamasis lęšis veikia kaip lupa?
Kodėl optinei galiai reikia židinio nuotolio metrais?
Kokias plonojo lęšio modelio ribas reikia įvardyti?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.2.1 lęšių ir optinių sistemų apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus IV gimnazijos klasės programos atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.2.1 pažodinis normatyvinis turinys.