Šviesos interferencija ir difrakcija

Mokymosi tikslai

Paaiškinti Hiugenso ir Frenelio principą bei koherentiškumo reikšmę.
Taikyti kelio skirtumo sąlygas interferencijos maksimumams ir minimumams.
Analizuoti Jungo dvigubo plyšio, viengubo plyšio ir difrakcinės gardelės duomenis.
Atsargiai aiškinti plonų plėvelių spalvas, įvertinant fazės pokyčius atsispindint.

Prisimink

Superpozicijos principas teigia, kad persidengusių bangų elektrinio lauko stiprio vektoriai sudedami. Intensyvumas priklauso nuo lauko amplitudės kvadrato, todėl vien amplitudžių sudėjimas dar nėra intensyvumų sudėjimas.

Sąvokos ir simboliai

Koherentinės bangos – vienodo dažnio bangos, kurių fazių skirtumas stabilus stebėjimo metu.
Geometrinis kelio skirtumas $\Delta d$ – dviejų bangų geometrinių kelių skirtumas toje pačioje vienalytėje terpėje; jis lyginamas su tos terpės bangos ilgiu $\lambda$ .
Optinio kelio skirtumas $\Delta(ns)$ – lūžio rodikliu pasvertų kelių skirtumas; jis lyginamas su vakuuminiu bangos ilgiu $\lambda_0$ .
Interferencija – erdvinis intensyvumo persiskirstymas dėl koherentinių bangų superpozicijos.
Difrakcija – bangos išplitimas už angos ar kliūties ribų.
$d$ – atstumas tarp dviejų plyšių arba gardelės konstanta (periodas), $a$ – vieno plyšio plotis, $L$ – atstumas iki ekrano.

Teorija

Hiugenso ir Frenelio principas

Kiekvienas bangos fronto taškas gali būti laikomas antrinių bangelių šaltiniu, o vėlesnis frontas gaunamas iš jų gaubtinės ir superpozicijos. Šis modelis paaiškina atspindį, lūžį bei difrakciją ir primena, kad geometrinės optikos spinduliai yra ribinis banginio aprašymo atvejis.

Dviejų bangų interferencija

Jeigu dvi vienos spalvos bangos vienalytėje terpėje startuoja vienoda faze, geometrinio kelio skirtumo maksimumai gaunami, kai

$\Delta d=m\lambda,$

o minimumai, kai

$\Delta d=\left(m+\frac12\right)\lambda,$

čia $m=0,1,2,\ldots$ , o $\lambda$ yra tos terpės bangos ilgis. Jei vietoj geometrinio kelio naudojamas optinio kelio skirtumas $\Delta(ns)$ , dešinėje rašomas vakuuminis $\lambda_0$ . Jeigu pradinės fazės skiriasi, vien kelio skirtumo formulę reikia papildyti tuo fazių skirtumu.

Jungo dvigubo plyšio geometrijoje gretimų plyšių spindulių kelio skirtumas yra $\Delta d=d\sin\theta$ . Vienodos pradinės fazės bangų $m$ -ajam maksimumui $d\sin\theta_m=m\lambda$ . Kai ekranas toli ( $L\gg d$ ) ir kampai maži,

$\sin\theta_m\approx\tan\theta_m=\frac{y_m}{L}.$

Sulyginę abi išraiškas gauname

$y_m\approx\frac{m\lambda L}{d}.$

Gretimų maksimumų (lygiai taip pat – gretimų minimumų) atstumas yra

$\Delta y=y_{m+1}-y_m\approx\frac{(m+1)\lambda L}{d}-\frac{m\lambda L}{d}=\frac{\lambda L}{d}.$

Išvedimas nebegalioja dideliems kampams ar artimam ekranui; tada reikia naudoti tikslią kampinę geometriją, o ne $\sin\theta\approx\tan\theta$ .

Realūs plyšiai turi baigtinį plotį, todėl dviejų plyšių juosteles gaubia vieno plyšio difrakcijos maksimumas.

Viengubas plyšys ir gardelė

Tolimajame lauke, kai šviesa į vieną $a$ pločio plyšį krinta statmenai, minimumai tenkina:

$a\sin\theta=m\lambda,\qquad m=1,2,3,\ldots$

Centrinis maksimumas yra maždaug du kartus platesnis už kitus. Mažų kampų atveju jo plotis ekrane apie $2\lambda L/a$ .

Minimumo negalima vadinti pirmuoju šalutiniu maksimumu. Viengubo plyšio intensyvumo modelyje

$I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\qquad \beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.$

Ties centriniu maksimumu $\beta=0$ trupmena skaitoma pagal ribą $\lim_{\beta\to0}\sin\beta/\beta=1$ , todėl $I(0)=I_0$ , o ne neapibrėžta $0/0$ reikšmė.

Šalutiniai maksimumai tenkina $\tan\beta=\beta$ . Pirmajam necentriniam maksimumui $\beta_1\approx4{,}493$ , todėl

$\sin\theta_{\text{max},1}\approx1{,}430\frac{\lambda}{a}.$

Taigi kampinis nuokrypis nuo centrinio iki pirmojo šalutinio maksimumo yra $\theta_{\text{max},1}=\arcsin(1{,}430\lambda/a)$ , kai $1{,}430\lambda/a\le1$ ; įprastame $a\gg\lambda$ režime mažų kampų artinys yra $1{,}430\lambda/a$ . Jei ši domeno sąlyga netenkinama, tokio tolimojo lauko šalutinio maksimumo sklidimo krypties formulė neturi realios reikšmės. Tuo tarpu $\lambda/a$ nusako pirmojo minimumo mažo kampo artinį.

Monochromatinė ir balta šviesa. Vienam bangos ilgiui susidaro tos spalvos šviesios ir tamsios sritys. Baltą šviesą sudarančių tarpusavyje nekoherentinių spektrinių dedamųjų intensyvumai sumuojasi: ties $\theta=0$ visų dedamųjų centriniai maksimumai sutampa, todėl centras atrodo baltas, o toliau jų minimumai ir šalutiniai maksimumai išsiskiria pagal $\lambda$ . Ilgesni bangos ilgiai nukrypsta didesniu kampu nei trumpesni, tad šalia balto centro matomi spalvoti kraštai; tolimesnės skirtingų spalvų sritys persidengia ir kontrastas mažėja. Šis modelis galioja tam pačiam plyšiui ir tai pačiai geometrijai, o stebimas vaizdas priklauso ir nuo šaltinio spektro bei detektoriaus jautrio.

Kai vienos spalvos šviesa į gardelę krinta statmenai, pagrindiniai maksimumai tenkina:

$d\sin\theta=m\lambda.$

Ši sąlyga gaunama iš gretimų gardelės plyšių spindulių kelio skirtumo $\Delta=d\sin\theta$ : konstruktyviajai interferencijai reikia $\Delta=m\lambda$ , todėl $d\sin\theta=m\lambda$ .

Galimas tik toks $m$ , kuriam $|m\lambda/d|\le1$ . Daug plyšių daro pagrindinius maksimumus siauresnius, todėl gardelė patogi spektrui tirti.

Pralaidžioji gardelė formuoja vaizdą šviesai praėjus pro periodiškas skaidrias ir neskaidrias arba skirtingos fazės sritis. Atspindžio gardelė sudaro maksimumus nuo periodiškai suformuoto atspindinčio paviršiaus. Gardelės taip pat gali būti mechaniškai rėžtos arba holografiškai suformuotos; tai gamybos būdas, o ne nauja maksimumo lygtis. Spektrometruose gardelės išskiria bangos ilgius, nes to paties $m$ skirtingoms $\lambda$ maksimumai susidaro skirtingais kampais.

Plonos plėvelės

Nuo plėvelės viršaus ir apačios atsispindėjusios bangos interferuoja. Beveik statmenam kritimui sklidimo sukeltas fazių skirtumas yra $4\pi nt/\lambda_0$ . Atsispindint nuo mažesnio $n$ į didesnį $n$ elektrinio lauko fazė papildomai pasikeičia per $\pi$ , o atsispindint nuo didesnio į mažesnį — ne. Todėl

$\delta=\frac{4\pi nt}{\lambda_0}+\Delta\varphi_r,$

čia $\Delta\varphi_r$ yra dviejų atspindžių fazių pokyčių skirtumas: 0, kai abu pokyčiai vienodi, ir $\pi$ , kai tik vienas atspindys pakeičia fazę.

Atspindėtos šviesos maksimumui $\delta=2\pi m$ , minimumui $\delta=(2m+1)\pi$ . Vadinasi:

kai $\Delta\varphi_r=0$ : maksimumas $2nt=m\lambda_0$ , minimumas $2nt=(m+1/2)\lambda_0$ ;
kai $\Delta\varphi_r=\pi$ : maksimumas $2nt=(m+1/2)\lambda_0$ , minimumas $2nt=m\lambda_0$ .

Čia $m$ parenkamas taip, kad $t>0$ . Įstrižam kritimui optiniame kelyje atsiranda kampo daugiklis, o sugeriančioms ar daugiasluoksnėms dangoms reikia išsamesnio modelio. Todėl formulė taikoma tik patikrinus terpių seką, atspindžių fazes ir kritimo geometriją.

Interferencijos ir difrakcijos tyrimo schema: dvigubas plyšys su atstumu d ir ekranu L, viengubo plyšio centrinio maksimumo gaubtinė ir ilgesnės bangos pirmasis difrakcijos minimumas didesniu kampu negu trumpesnės bangos; ekrano koordinatė y pažymėta metrais

Formulės ir SI vienetai

$\Delta d=m\lambda$ ir $\Delta d=(m+1/2)\lambda$ – vienodai pradinei fazei.
$\Delta y\approx\lambda L/d$ – dvigubam plyšiui mažų kampų ir tolimo ekrano artinyje.
$a\sin\theta=m\lambda$ – statmenai apšviesto vieno plyšio tolimojo lauko minimumams, $m\ne0$ .
$d\sin\theta=m\lambda$ – statmenai apšviestos gardelės pagrindiniams maksimumams.
$a$ , $d$ , $L$ , $\lambda$ skaičiavime reiškiami vienodais ilgio vienetais; kampas – laipsniais arba radianais pagal skaičiuotuvo režimą.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Jungo eksperimento juostelių tarpas

Duota. $\lambda=600\ \text{nm}$ , $L=2{,}00\ \text{m}$ , $d=0{,}300\ \text{mm}$ .

Rasti. Gretimų interferencijos maksimumų tarpą $\Delta y$ .

Modelis ir sąlygos. Du siauri plyšiai apšviesti koherentine vienos spalvos šviesa, $L\gg d$ , stebimi maži kampai ir nepaisoma vieno plyšio gaubtinės įtakos maksimumų padėtims.

Vienetai. $\lambda=6{,}00\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , $d=3{,}00\cdot10^{-4}\ \text{m}$ , $L$ jau metrais.

Skaičiavimas.

$\Delta y=\frac{\lambda L}{d} =\frac{6{,}00\cdot10^{-7}\cdot2{,}00}{3{,}00\cdot10^{-4}} =4{,}00\cdot10^{-3}\ \text{m}.$

Atsakymas. Gretimų juostelių tarpas $4{,}00\ \text{mm}$ .

Patikra. $\lambda L/d$ dimensija yra metras; $4{,}00\cdot10^{-3}$ m = 4,00 mm. Kadangi $\Delta y/L=0{,}002\ll1$ , mažo kampo artinys tinka, o dydžio eilė prasminga.

2. Bangos ilgis iš gardelės

Duota. Gardelė turi 500 brūkšnių milimetre. Pirmasis maksimumas yra ties $17{,}5^\circ$ .

Rasti. Bangos ilgį $\lambda$ .

Modelis ir sąlygos. Gardelės brūkšniai vienodai išdėstyti, šviesa krinta statmenai, o nurodytas maksimumas yra pirmos eilės ( $m=1$ ); kampas matuojamas nuo gardelės normalės.

Vienetai. Brūkšnių tankį paverčiame periodu metrais; kampas skaičiuojamas laipsniais.

Skaičiavimas. Gardelės periodas

$d=\frac{1\ \text{mm}}{500}=2{,}00\cdot10^{-6}\ \text{m}.$

Pirmajai eilei $m=1$ :

$\lambda=d\sin\theta=2{,}00\cdot10^{-6}\sin17{,}5^\circ =6{,}01\cdot10^{-7}\ \text{m}.$

Atsakymas. $\lambda\approx601\ \text{nm}$ .

Patikra. $\lambda/d=0{,}3005<1$ , taigi pirmos eilės maksimumas galimas. $601$ nm yra regimosios šviesos diapazono, todėl dydžio eilė fiziškai prasminga, o atgal gaunama $17{,}5^\circ$ .

3. Viengubo plyšio centrinio maksimumo plotis

Duota. $a=0{,}200\ \text{mm}$ , $\lambda=500\ \text{nm}$ , $L=1{,}50\ \text{m}$ ; kampai maži.

Rasti. Centrinio maksimumo plotį ekrane $w$ tarp pirmųjų minimumų ir pirmojo šalutinio maksimumo kampinį nuokrypį bei padėtį nuo centro.

Modelis ir sąlygos. Tolimojo lauko viengubo plyšio difrakcija ir tolygus apšvietimas; ekrano koordinatė tiksliai siejama $y=L\tan\theta$ , o mažiems kampams $y\approx L\sin\theta$ . Plotis yra dvigubas atstumas nuo centro iki pirmojo minimumo.

Vienetai. $a=2{,}00\cdot10^{-4}$ m, $\lambda=5{,}00\cdot10^{-7}$ m, $L=1{,}50$ m.

Skaičiavimas. Centrinio maksimumo plotis:

$w\approx\frac{2\lambda L}{a} =\frac{2\cdot5{,}00\cdot10^{-7}\cdot1{,}50}{2{,}00\cdot10^{-4}} =7{,}50\cdot10^{-3}\ \text{m}.$

Pirmajam šalutiniam maksimumui:

$\sin\theta_{\text{max},1}\approx1{,}430\frac{\lambda}{a}=1{,}430\frac{5{,}00\cdot10^{-7}}{2{,}00\cdot10^{-4}}=3{,}575\cdot10^{-3},$

todėl $\theta_{\text{max},1}\approx3{,}575\cdot10^{-3}\ \text{rad}\approx0{,}205^\circ$ ir $y_1\approx L\tan\theta\approx5{,}36\ \text{mm}$ .

Atsakymas. Centrinio maksimumo plotis $w\approx7{,}50\ \text{mm}$ ; pirmasis šalutinis maksimumas yra maždaug $\theta_{\text{max},1}=3{,}58\cdot10^{-3}\ \text{rad}=0{,}205^\circ$ kampu, arba $y_1\approx5{,}36\ \text{mm}$ nuo centro.

Patikra. $w/L=0{,}005\ll1$ , todėl mažo kampo prielaida tinka. Pirmasis minimumas yra ties $w/2=3{,}75\ \text{mm}$ , o pirmasis šalutinis maksimumas ties $5{,}36\ \text{mm}$ – už minimumo, kaip ir turi būti. Rezultato dydžio eilė ir maksimumo padėtis fiziškai prasmingi: sumažinus plyšį ar padidinus $\lambda$ , abu nuokrypiai didėtų.

4. Plonos antirefleksinės dangos storis

Duota. Oras, danga $n=1{,}38$ ir didesnio lūžio rodiklio stiklas. Norima silpninti beveik statmenai krintančią $\lambda_0=550\ \text{nm}$ šviesą. Abiejuose atspindžiuose fazė pasikeičia vienodai.

Rasti. Mažiausią teigiamą dangos storį $t$ , duodantį atspindžio minimumą.

Modelis ir sąlygos. Vienas nesugeriantis sluoksnis, beveik statmenas kritimas ir viena vakuuminė bangos ilgio reikšmė. Abu atspindžiai vyksta nuo mažesnio į didesnį $n$ , todėl abu prideda po $\pi$ ir jų skirtumas $\Delta\varphi_r=0$ ; minimumui $2nt=(m+1/2)\lambda_0$ .

Vienetai. $n$ bedimensis, todėl naudojant $\lambda_0$ nanometrais storis gaunamas nanometrais.

Skaičiavimas. Mažiausiam teigiamam storiui $m=0$ :

$t=\frac{\lambda_0}{4n}=\frac{550\ \text{nm}}{4\cdot1{,}38}=99{,}6\ \text{nm}.$

Atsakymas. Ketvirčio bangos dangos storis apie $100\ \text{nm}$ .

Patikra. $2nt=2\cdot1{,}38\cdot99{,}6\approx275$ nm $=\lambda_0/2$ , todėl sklidimas sukuria $\pi$ skirtumą ir atspindžiai silpnina vienas kitą. Atsakymas galioja vienam bangos ilgiui ir beveik statmenam kritimui, ne visam spektrui.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Baltos šviesos juostelės. Centre visų bangos ilgių kelio skirtumas lygus nuliui, todėl juostelė balta. Toliau skirtingų spalvų maksimumai atsiskiria, o po kelių eilių persidengia ir kontrastas mažėja.

Siauresnis plyšys. Sumažinus plyšio plotį $a$ , difrakcijos kampas didėja. Tai ne prieštaravimas geometrinei optikai: spindulių artinys geriausias, kai sistemos matmenys daug didesni už $\lambda$ .

Praktinė veikla: difrakcijos kampas ir dvigubas plyšys

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.2.2, PH12-A02-R02-E07. Per tą patį siaurą plyšį atskirai nukreipkite dviejų žinomų regimosios šviesos bangos ilgių mokyklinius šaltinius. Tam pačiam $L$ išmatuokite atstumus nuo centro iki pirmųjų minimumų abiejose pusėse, apskaičiuokite $\theta=\arctan(y/L)$ ir patikrinkite, ar $\sin\theta$ proporcingas $\lambda$ . Tada saugiu baltos šviesos šaltiniu arba virtualioje laboratorijoje patikrinkite baltą centrinę sritį ir bangos ilgiui priklausomus spalvotus kraštus; atskirkite šį vaizdą nuo vienos spalvos minimumų. Negalima keisti plyšio pločio tarp palyginamų matavimų.

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.2.2, PH12-A02-R02-E08. Tą patį saugų vienos spalvos šaltinį nukreipkite į sertifikuotą dvigubą plyšį. Iš kelių juostelių bendro ilgio raskite vidutinį $\Delta y$ , patikrinkite $\Delta y\approx\lambda L/d$ ir aprašykite, kaip juostelių ryškį moduliuoja vieno plyšio difrakcijos gaubtinė. Taip aiškiai tiriami abu reiškiniai — difrakcija ir interferencija — o ne vien matoma „taškų eilė“.

Kilmė: EDITORIAL. Papildomai lazerį nukreipkite per sertifikuotą gardelę: kelių eilių maksimumų kampams taikykite $d\sin\theta=m\lambda$ ir nepriklausomai įvertinkite $\lambda$ .

Matuokite simetriškai abiejose centro pusėse ir vidurkinkite; $y$ neapibrėžtį vertinkite pagal maksimumo ar minimumo plotį, $L$ — pagal liniuotės padalą. Sauga: šaltinius pritvirtinkite žemiau akių lygio, pašalinkite veidrodinius daiktus ir niekada nežiūrėkite į spindulį, plyšį ar gardelę spindulio kryptimi.

Dažnos klaidos

Supainioti viengubo plyšio minimumų ir gardelės maksimumų sąlygas.
Brūkšnių skaičių milimetre tiesiog įrašyti vietoje gardelės periodo.
Mažų kampų formulę $y\approx L\sin\theta$ taikyti dideliam kampui nepatikrinus.
Interferencijos minimumą vadinti energijos išnykimu.
Plonos plėvelės uždavinyje nepaisyti fazės pokyčio atsispindint.
Nanometrų ir milimetrų nepaversti suderintais vienetais.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Interferencijai reikia stabilaus fazių ryšio.
Dvigubo plyšio juostelių tarpas priklauso nuo $\lambda$ , $L$ ir $d$ .
Vienas plyšys sudaro platų difrakcijos vaizdą, o gardelė – siaurus spektrinius maksimumus.
Plonos plėvelės sąlygoje būtina įvertinti ir optinį kelią, ir fazės pokytį atspindyje.

Savikontrolė

Ką reiškia bangų koherentiškumas?
Kuo skiriasi viengubo plyšio ir gardelės formulės?
Kada galima naudoti $\Delta y\approx\lambda L/d$ ?
Kodėl siauresnis plyšys duoda platesnį maksimumą?
Kodėl plonos plėvelės spalvos priklauso nuo stebėjimo kampo?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.2.2 interferencijos, difrakcijos ir gardelės apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.2.2 pažodinis normatyvinis turinys ir privalomų tyrimų apimtis.