Kintamoji elektros srovė

Mokymosi tikslai

Apibūdinti sinusinės srovės ir įtampos momentines, amplitudines bei efektines vertes.
Apskaičiuoti varžinėje grandinėje išskiriamą galią pagal efektines vertes.
Paaiškinti talpinę ir induktyviąją varžas bei jų priklausomybę nuo dažnio.
Susieti energijos virsmus idealiame LC kontūre ir įvardyti realios grandinės nuostolius.

Prisimink

Elektromagnetinės indukcijos elektrovara priklauso nuo magnetinio srauto kitimo spartos. Sukant ritę magnetiniame lauke srautas ir indukuotoji įtampa periodiškai keičiasi; tolygaus sukimo idealizacija sukuria sinusinę įtampą.

Sąvokos ir simboliai

Kintamoji srovė – srovė, kurios momentinė vertė ir kryptis periodiškai kinta.
$I_m$ , $U_m$ – srovės ir įtampos amplitudės.
$I$ , $U$ – efektinės, arba RMS, sinusinės srovės ir įtampos vertės.
Aktyvioji (ominė) varža $R$ – grynai varžinio elemento efektinės įtampos ir srovės santykis $R=U/I$ ; SI vienetas omas (Ω).
$X_C$ – talpinė varža, $X_L$ – induktyvioji varža, abu matuojami omais (Ω).
$C$ – elektrinė talpa (F), $L$ – induktyvumas (H), $\omega=2\pi f$ .
Virpesių kontūras – kondensatoriaus ir ritės sistema, kurioje energija kinta tarp elektrinio ir magnetinio laukų.

Teorija

Sinusinė srovė ir efektinė vertė

Momentines vertes galima užrašyti

$i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi_i),\qquad u(t)=U_m\sin(\omega t+\varphi_u).$

Efektinė vertė apibrėžta pagal tokį pat šiluminį poveikį rezistoriui kaip nuolatinė srovė. Sinusoidei:

$I=\frac{I_m}{\sqrt2},\qquad U=\frac{U_m}{\sqrt2}.$

Grynojoje varžinėje grandinėje srovė ir įtampa yra tos pačios fazės, todėl vidutinė galia

$P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R},$

čia $U$ ir $I$ yra efektinės vertės, o aktyvioji varža apskaičiuojama

$R=\frac UI.$

Pavyzdžiui, jei grynai varžinio elemento efektinės vertės yra $U=230\ \text{V}$ ir $I=5{,}00\ \text{A}$ , tai $R=230/5{,}00=46{,}0\ \Omega$ . Šis santykis neturi būti automatiškai vadinamas aktyviąja varža visai RLC grandinei, nes joje $U/I$ yra pilnutinė varža, o fazės gali skirtis. Todėl bendroje grandinėje aktyvioji galia yra $P=UI\cos\varphi$ ; formulė $P=UI$ be galios koeficiento nėra universali.

Kondensatorius ir ritė kintamosios srovės grandinėje

Idealiam kondensatoriui:

$X_C=\frac{1}{\omega C}.$

Didėjant dažniui $X_C$ mažėja. Nuolatinės srovės nusistovėjusioje būsenoje idealus kondensatorius srovės nepraleidžia.

Idealiai ritei:

$X_L=\omega L.$

Didėjant dažniui $X_L$ didėja. Kondensatorius ir ritė vidutiniškai aktyviosios energijos nevartoja: energiją kaupia lauke ir grąžina grandinei. Realūs elementai turi varžinių nuostolių.

LC kontūro fazės ir laukų energija

Idealiame LC kontūre savųjų virpesių periodas:

$T=2\pi\sqrt{LC},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

Energija kinta tarp $Cu_C^2/2$ kondensatoriaus elektriniame lauke ir $Li^2/2$ ritės magnetiniame lauke; čia $u_C$ ir $i$ yra momentinės vertės, ne amplitudės ir ne efektinės vertės. Realus RLC kontūras slopsta, o išorinis šaltinis gali sukelti elektrinį rezonansą.

Pasirinkę $q(t)=Q_m\cos\omega_0t$ , gauname

$u_C(t)=\frac{q(t)}{C}=U_m\cos\omega_0t,$

$i(t)=\frac{dq}{dt}=-\omega_0Q_m\sin\omega_0t.$

Taigi kondensatoriaus krūvis $q$ ir įtampa $u_C$ yra tos pačios fazės, o srovė nuo jų paslinkta ketvirčiu periodo. Fiksuotos geometrijos kondensatoriaus viduje elektrinio lauko projekcija $E_C(t)\propto u_C(t)\propto q(t)$ , o tiesinės ritės magnetinio lauko indukcijos projekcija $B_L(t)\propto i(t)$ . Vadinasi, $E_C$ ir $B_L$ taip pat skiriasi ketvirčiu periodo, o kiekvieno lauko kryptis apsiverčia kas pusperiodį.

Kai $|q|$ , $|u_C|$ ir $|E_C|$ didžiausi, $i=0$ ir $B_L=0$ : elektrinio lauko energija $q^2/(2C)$ didžiausia, magnetinio lauko energija $Li^2/2$ nulinė. Po ketvirčio periodo $q=u_C=E_C=0$ , $|i|$ ir $|B_L|$ didžiausi, todėl energija sukaupta ritės magnetiniame lauke. Laukų krypties ženklai svarbūs, tačiau jų energijos yra proporcingos $E_C^2$ ir $B_L^2$ : jos neneigiamos ir kinta dvigubu dažniu, t. y. jų periodas yra $T/2$ . Šie proporcingumai remiasi fiksuota kondensatoriaus ir ritės geometrija, tiesinėmis medžiagomis bei idealiu neprislopintu LC modeliu.

Idealaus LC kontūro krūvio q, kondensatoriaus įtampos u C ir srovės i grafikai per vieną periodą: q ir u C yra tos pačios fazės, i paslinkta ketvirčiu periodo; atskirai parodyta elektrinio ir magnetinio laukų energijų kaita, horizontalioji ašis t dalimis nuo periodo T

Formulės ir SI vienetai

$i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i)$ ir $u=U_m\sin(\omega t+\varphi_u)$ .
$I=I_m/\sqrt2$ , $U=U_m/\sqrt2$ sinusinei bangai; A ir V.
$R=U/I$ grynai varžinei sinusinei grandinei, naudojant efektines vertes; $R$ – Ω.
$P=UI\cos\varphi$ , aktyviosios galios SI vienetas W.
$X_C=1/(\omega C)$ , $X_L=\omega L$ ; reaktyviosios varžos matuojamos omais.
$T=2\pi\sqrt{LC}$ idealiam LC kontūrui; $L$ – H, $C$ – F.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Amplitudė ir varžinio prietaiso galia

Duota. Sinusinės įtampos efektinė vertė $U=230\ \text{V}$ . Šildytuvo varža $R=46\ \Omega$ .

Rasti. $U_m$ , efektinę srovę $I$ ir aktyviąją galią $P$ .

Modelis ir sąlygos. Įtampa sinusinė, o apkrova idealiai varžinė, todėl $U_m=\sqrt2U$ , $I=U/R$ ir galios koeficientas lygus 1. Skaičiavimas nėra bendras reaktyviai apkrovai.

Vienetai. Įtampa V ir varža Ω, todėl srovė A; $UI$ gaunama vatais.

Skaičiavimas.

$U_m=\sqrt2U=230\sqrt2\approx325\ \text{V}.$

$I=\frac{U}{R}=\frac{230}{46}=5{,}0\ \text{A}.$

$P=UI=230\cdot5{,}0=1{,}15\cdot10^3\ \text{W}.$

Atsakymas. $U_m\approx325\ \text{V}$ , $I=5{,}0\ \text{A}$ , $P=1{,}15\ \text{kW}$ .

Patikra. $U_m/U\approx1{,}414=\sqrt2$ , o $I^2R=25\cdot46=1150$ W sutampa su $UI$ . Teigiama kilovatų eilės galia yra prasminga varžiniam šildytuvui.

2. Talpinė ir induktyvioji varžos

Duota. $f=50{,}0\ \text{Hz}$ , $C=100\ \mu\text{F}$ , $L=0{,}200\ \text{H}$ .

Rasti. $X_C$ ir $X_L$ .

Modelis ir sąlygos. Kondensatorių ir ritę laikome idealiais sinusinės nusistovėjusios būsenos elementais; reaktyviosios varžos priklauso nuo to paties kampinio dažnio.

Vienetai. $C=100\ \mu\text{F}=1{,}00\cdot10^{-4}\ \text{F}$ ; $L$ jau H, $\omega$ — rad/s.

Skaičiavimas. $\omega=2\pi f=100\pi\ \text{rad/s}\approx314\ \text{rad/s}$ . Toliau naudojame tikslią $100\pi$ išraišką:

$X_C=\frac{1}{100\pi\cdot1{,}00\cdot10^{-4}}=31{,}8\ \Omega.$

$X_L=100\pi\cdot0{,}200=62{,}8\ \Omega.$

Atsakymas. $X_C\approx31{,}8\ \Omega$ , $X_L\approx62{,}8\ \Omega$ .

Patikra. $1/(\text{s}^{-1}\text{F})=\Omega$ ir $\text{s}^{-1}\text{H}=\Omega$ . Esant 50 Hz bei nurodytoms vertėms abi varžos yra dešimčių omų eilės; $X_L>X_C$ atitinka skaičius.

3. LC kontūro dažnis

Duota. $L=4{,}0\ \text{mH}$ ir $C=2{,}5\ \mu\text{F}$ .

Rasti. Idealų savąjį dažnį $f_0$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome idealų LC kontūrą: omine varža, spinduliavimu ir parazitiniais elementais nepaisome. Tada galioja Tomsono formulė.

Vienetai. $L=4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{H}$ , $C=2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{F}$ .

Skaičiavimas.

$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi\sqrt{(4{,}0\cdot10^{-3})(2{,}5\cdot10^{-6})}} =1{,}59\cdot10^3\ \text{Hz}.$

Atsakymas. $f_0\approx1{,}6\ \text{kHz}$ .

Patikra. $\sqrt{LC}$ dimensija yra sekundė, tad atvirkštinis dydis — Hz. Sandauga $LC=1{,}0\cdot10^{-8}$ duoda $\sqrt{LC}=10^{-4}$ s, todėl $1/(2\pi\sqrt{LC})$ privalo būti apie 1,6 kHz; dydžio eilė prasminga.

4. Duomenys iš oscilogramos

Duota. Oscilogramos horizontalioji skalė $5{,}0\ \text{ms/div}$ , vienas periodas užima 4,0 padalas. Vertikalioji skalė $50\ \text{V/div}$ , amplitudė 3,0 padalos.

Rasti. $T$ , $f$ , $U_m$ ir sinusinės įtampos efektinę vertę $U$ .

Modelis ir sąlygos. Skalės yra tiesinės, nulinė linija nustatyta teisingai, o signalas sinusinis; tik tada efektinei vertei taikome $U=U_m/\sqrt2$ .

Vienetai. $20$ ms paversime į $0{,}020$ s; vertikalios skalės sandauga jau duoda voltus.

Skaičiavimas.

$T=4{,}0\cdot5{,}0\ \text{ms}=20\ \text{ms}=0{,}020\ \text{s},$

$f=1/T=50\ \text{Hz}.$

$U_m=3{,}0\cdot50=150\ \text{V},\qquad U=\frac{150}{\sqrt2}=106\ \text{V}.$

Atsakymas. $T=20\ \text{ms}=0{,}020\ \text{s}$ , $f=50\ \text{Hz}$ , $U_m=150\ \text{V}$ , $U\approx106\ \text{V}$ .

Patikra. $Tf=0{,}020\cdot50=1$ , o efektinė vertė mažesnė už amplitudę santykiu $\sqrt2$ . Teigiamas amplitudės modulis ir 50 Hz dažnis atitinka parodytą keturių padalų periodą.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Dažnio poveikis. Padidinus dažnį du kartus, tos pačios ritės $X_L$ padvigubėja, o to paties kondensatoriaus $X_C$ sumažėja perpus. Todėl elementai naudojami dažniams filtruoti.

Efektinė vertė. Kai užduotyje sinusinei įtampai pateikiama $230\ \text{V}$ efektinė vertė, jos amplitudė yra apie $325\ \text{V}$ . Momentinė įtampa didžiąją ciklo dalį nėra lygi efektinei vertei ir kas pusperiodį pakeičia ženklą.

Praktinė veikla: LC duomenys ir saugi žemos įtampos grandinė

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.1.2, PH12-A01-R02-E02–E04. Iš pateikto idealaus LC kontūro duomenų rinkinio arba saugios virtualios laboratorijos vienoje laiko ašyje nubraižykite $q(t)$ , $u_C(t)$ ir $i(t)$ . Nustatykite nulinių verčių bei ekstremumų laikus, iš jų apskaičiuokite fazių poslinkius. Iš $q$ , $u_C$ ir $i$ apskaičiuokite elektrinio bei magnetinio laukų energijas ir patikrinkite jų sumą. Jei duomenys imituoja realų RLC kontūrą, nevadinkite mažėjančios sumos tvermės pažeidimu — įvertinkite rezistoriuje išsklaidytą energiją ir nuskaitymo neapibrėžtį.

Kilmė: EDITORIAL. Naudodami tik mokyklinį izoliuotą žemos įtampos kintamosios srovės šaltinį, osciloskopu arba duomenų kaupikliu išmatuokite sinusinės įtampos periodą ir amplitudę. Apskaičiuokite efektinę vertę ir palyginkite su tikrąją efektinę vertę (angl. true RMS) matuojančio voltmetro rodmeniu; paprastas voltmetras nesinusiniam signalui gali rodyti kitaip.

Sauga. Nenaudokite pastato elektros tinklo, nekeiskite grandinės, kol šaltinis įjungtas, prieš prijungdami osciloskopą patikrinkite bendro laido topologiją ir neviršykite prietaisų įėjimo ribų.

Dažnos klaidos

Efektinę vertę painioti su amplitude.
$P=UI$ taikyti bet kokiai RLC grandinei, nepaisant fazių skirtumo.
Mikrofaradų nepaversti faradais.
Manyti, kad idealus kondensatorius ar ritė negrįžtamai sunaudoja energiją.
$X_C$ ir $X_L$ vadinti pastovia elemento varža, nepaminėjus dažnio.
Dirbti su pavojinga tinklo įtampa vietoje izoliuoto mokyklinio šaltinio.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Sinusinei įtampai ir srovei efektinė vertė lygi amplitudei, padalytai iš $\sqrt2$ .
Varžinėje grandinėje aktyvioji galia apskaičiuojama iš efektinių verčių.
$X_C$ mažėja, o $X_L$ didėja didėjant dažniui.
Idealiame LC kontūre energija periodiškai persiskirsto tarp elektrinio ir magnetinio laukų.

Savikontrolė

Ką fiziškai reiškia efektinė srovės vertė?
Kada galima rašyti $P=UI$ be $\cos\varphi$ ?
Kaip dažnis veikia $X_C$ ir $X_L$ ?
Kur sukaupta energija, kai LC kontūro kondensatoriaus įtampa didžiausia?
Kodėl mokyklinis bandymas turi būti atliekamas tik su izoliuota žema įtampa?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.1.2 kintamosios srovės ir elektromagnetinių virpesių apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus IV gimnazijos klasės turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.1.2 pažodinis normatyvinis turinys ir privalomų duomenų tyrimų apimtis.