Kvadratinė funkcija

Apibrėžimas

Kvadratinė funkcija – tai funkcija, užrašoma formule:

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

kur $a$ , $b$ , $c$ – duotieji skaičiai (koeficientai).

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė.

Parabolės forma

Koeficientas $a$ nulemia parabolės kryptį:

Sąlyga	Parabolės forma
$a > 0$	Šakos nukreiptos aukštyn (parabolė turi minimumą)
$a < 0$	Šakos nukreiptos žemyn (parabolė turi maksimumą)

Kuo didesnis $|a|$ , tuo parabolė siauresnė (statesnė). Kuo mažesnis $|a|$ , tuo platesnė.

Paprasčiausia parabolė $y = ax^2$

Tai parabolė, kurios viršūnė yra koordinačių pradžioje $(0; 0)$ , o simetrijos ašis – $y$ ašis.

Pavyzdys 1. Palyginkime $y = x^2$ , $y = 2x^2$ ir $y = \dfrac{1}{2}x^2$ :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$
$2x^2$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$
$\frac{1}{2}x^2$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$

Visos trys parabolės eina per $(0; 0)$ , bet $y = 2x^2$ siauresnė, o $y = \frac{1}{2}x^2$ platesnė nei $y = x^2$ .

Parabolės viršūnė

Bendrosios parabolės $y = ax^2 + bx + c$ viršūnės koordinatės:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = f(x_v) = a \cdot x_v^2 + b \cdot x_v + c$

Arba ekvivalenčiai:

$y_v = -\frac{D}{4a}, \quad \text{kur } D = b^2 - 4ac$

Pavyzdys 2. Raskite parabolės $y = x^2 - 4x + 3$ viršūnę.

$a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$
$x_v = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Viršūnė: $(2; -1)$ .

Pavyzdys 3. Raskite parabolės $y = -2x^2 + 8x - 5$ viršūnę.

$x_v = -\dfrac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$
$y_v = -2 \cdot 4 + 16 - 5 = 3$

Viršūnė: $(2; 3)$ .

Simetrijos ašis

Parabolės simetrijos ašis – vertikali tiesė, einanti per viršūnę:

$x = x_v = -\frac{b}{2a}$

Kiekvienas parabolės taškas turi simetrinį tašką kitoje simetrijos ašies pusėje.

Grafiko ir ašių susikirtimo taškai

Su $y$ ašimi

Kai $x = 0$ : $y = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c$ .

Parabolė visada kerta $y$ ašį taške $(0; c)$ .

Su $x$ ašimi (šaknys)

Sprendžiame $ax^2 + bx + c = 0$ ir randame diskriminantą $D = b^2 - 4ac$ :

Sąlyga	$x$ ašies susikirtimas
$D > 0$	Du susikirtimo taškai: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$	Vienas taškas (parabolė liečia $x$ ašį): $x = -\dfrac{b}{2a}$
$D < 0$	Nekerta $x$ ašies

Grafiko braižymo algoritmas

Nustatykite parabolės kryptį (pagal $a$ ženklą).
Raskite viršūnę $(x_v; y_v)$ .
Raskite susikirtimą su $y$ ašimi: $(0; c)$ .
Raskite susikirtimą su $x$ ašimi (jei $D \geq 0$ ).
Raskite kelis papildomus taškus (simetriškai viršūnės atžvilgiu).
Nubrėžkite glotnią parabolę.

Pavyzdys 4. Nubraižykite $y = x^2 - 2x - 3$ .

$a = 1 > 0$ → šakos aukštyn.
$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$ ; $y_v = 1 - 2 - 3 = -4$ . Viršūnė: $(1; -4)$ .
$y$ ašis: $(0; -3)$ .
$x$ ašis: $x^2 - 2x - 3 = 0$ , $D = 4 + 12 = 16$ , $x_1 = 3$ , $x_2 = -1$ .
Papildomas taškas: $x = 2$ , $y = 4 - 4 - 3 = -3$ , taškas $(2; -3)$ – simetriškas taškui $(0; -3)$ .

Pavyzdys 5. Nubraižykite $y = -x^2 + 4x$ .

$a = -1 < 0$ → šakos žemyn.
$x_v = -\dfrac{4}{-2} = 2$ ; $y_v = -4 + 8 = 4$ . Viršūnė: $(2; 4)$ .
$y$ ašis: $(0; 0)$ .
$x$ ašis: $-x^2 + 4x = 0$ , $x(-x + 4) = 0$ , $x_1 = 0$ , $x_2 = 4$ .

Didžiausia ir mažiausia reikšmė

Jei $a > 0$ : funkcija turi mažiausią reikšmę $y_{\min} = y_v$ .
Jei $a < 0$ : funkcija turi didžiausią reikšmę $y_{\max} = y_v$ .

Pavyzdys 6. Funkcijos $y = 2x^2 - 12x + 20$ mažiausia reikšmė:

$x_v = \dfrac{12}{4} = 3$
$y_{\min} = 2 \cdot 9 - 36 + 20 = 2$

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 7. Kamuolys mestas aukštyn. Jo aukštis: $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (metrais, $t$ – sekundės). Koks didžiausias aukštis?

$t_v = -\dfrac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ s
$h_{\max} = -5 \cdot 4 + 40 + 1 = 21$ m

Didžiausias aukštis – 21 m, pasiekiamas po 2 sekundžių.

Pavyzdys 8. Stačiakampio perimetras 24 m. Kokie matmenys duoda didžiausią plotą?

Tegu viena kraštinė $x$ , kita $12 - x$ (nes $2x + 2y = 24$ , $y = 12 - x$ ).
Plotas: $S(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x$
$x_v = \dfrac{12}{2} = 6$ , $S_{\max} = -36 + 72 = 36$ m²

Didžiausias plotas – 36 m², kai stačiakampis yra kvadratas su kraštine 6 m.

Savarankiško darbo užduotys

Nustatykite parabolės kryptį (aukštyn/žemyn) ir raskite viršūnę: a) $y = x^2 + 6x + 5$ b) $y = -x^2 + 2x + 8$
Nubraižykite funkciją $y = x^2 - 4x + 3$ . Nurodykite viršūnę, simetrijos ašį, susikirtimą su ašimis.
Raskite funkcijos $y = -2x^2 + 8x - 3$ didžiausią reikšmę.
Nubraižykite vienoje koordinačių plokštumoje: $y = x^2$ , $y = x^2 + 3$ , $y = x^2 - 2$ . Ką pastebite?
Parabolė $y = x^2 + bx + 5$ eina per tašką $(2; 3)$ . Raskite $b$ .
Raskite $x$ ašies susikirtimo taškus: $y = 2x^2 - 5x - 3$ .
Funkcija $y = x^2 - 8x + c$ liečia $x$ ašį (turi vieną bendrą tašką). Raskite $c$ .
Kamuolys mestas aukštyn nuo 2 m aukščio: $h(t) = -5t^2 + 15t + 2$ . Raskite didžiausią aukštį ir kada kamuolys nukris ant žemės.
Ūkininkas nori aptverti stačiakampį plotą, kurio viena kraštinė prieina prie sienos (tvora reikalinga trims kraštinėms). Turimos tvoros ilgis 40 m. Kokie matmenys duos didžiausią plotą?
Parabolės viršūnė yra taške $(3; -2)$ ir ji eina per tašką $(0; 7)$ . Raskite funkcijos formulę $y = a(x - x_v)^2 + y_v$ .

Kvadratinė funkcija