Tiesinių funkcijų modeliai

Tiesinių funkcijų modeliai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Tiesinių funkcijų modeliai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Tiesinė funkcija $y=kx+b$ tinka procesui, kurio rezultatas per kiekvieną vienodą argumento žingsnį pakinta tuo pačiu dydžiu. Koeficientas $k$ yra kitimo greitis, o $b$ – pradinė reikšmė, kai $x=0$. Vienetai yra esminė modelio dalis.

Jei žinomi du taškai, nuolydis skaičiuojamas kaip rezultato pokyčio ir argumento pokyčio santykis. Tada vienas taškas įstatomas į $y=kx+b$ ir randamas $b$. Lentelėje tiesiškumą galima atpažinti iš pastovių pirmųjų skirtumų.

Tiesinis modelis galioja tik ten, kur pagrįsta pastovaus kitimo prielaida. Interpoliacija vertina reikšmę duomenų intervalo viduje, o ekstrapoliacija – už jo ribų ir paprastai yra mažiau patikima. Kontekste taip pat gali galioti apribojimai, pavyzdžiui, $x\ge0$.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$y=kx+b$$ $$k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$$ $$\Delta y=k\Delta x$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Vandens talpoje po 2 min yra 18 l, o po 7 min – 43 l. Tarkime, kad vanduo pilamas pastoviu greičiu. Sudarykite modelį.

1. Nuolydis: $k=(43-18)/(7-2)=25/5=5$ l/min.
2. Įstatome tašką $(2;18)$: $18=5\cdot2+b$, todėl $b=8$.
3. Modelis yra $V(t)=5t+8$.
4. Skaičius 8 reiškia pradinį vandens kiekį talpoje.

Atsakymas. $V(t)=5t+8$, kai $t\ge0$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Nuolydžio skaitiklyje ir vardiklyje taškus atimti skirtinga tvarka.
• Koeficientą $b$ laikyti tiesės sankirta su $x$ ašimi.
• Ekstrapoliuoti modelį labai toli ir neįvertinti realių apribojimų.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Raskite tiesės per $(1;4)$ ir $(5;12)$ nuolydį.
2. Sudarykite tiesę per $(0;-3)$, kurios nuolydis 4.
3. Sudarykite tiesės per $(2;7)$ ir $(6;15)$ lygtį.
4. Ką modelyje $C(n)=1{,}5n+4$ reiškia skaičius 4?
5. Kada $y=-3x+12$ kerta $x$ ašį?
6. Ar lentelė $x:0,1,2,3$; $y:2,5,8,11$ yra tiesinė?
7. Pagal $T(h)=18-0{,}6h$ raskite $T(10)$.
8. Paaiškinkite interpoliacijos ir ekstrapoliacijos skirtumą.

Atsakymai savitikrai

1. $k=2$.
2. $y=4x-3$.
3. $y=2x+3$.
4. Pradinį arba pastovų 4 vienetų mokestį.
5. Kai $x=4$.
6. Taip, pirmieji skirtumai lygūs 3.
8. Interpoliacija vertina intervalo viduje, ekstrapoliacija – už stebėto intervalo.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Tiesinių funkcijų modeliai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.