Apskritimas ir skritulys

Apskritimas ir skritulys

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Apskritimas ir skritulys“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Apskritimas yra taškų, vienodai nutolusių nuo centro, aibė, o skritulys apima ir jo vidų. Spindulys jungia centrą su apskritimo tašku, skersmuo eina per centrą ir yra dvigubai ilgesnis už spindulį. Styga jungia du apskritimo taškus.

Centrinio kampo dydis lygus jo remiamo lanko laipsniniam dydžiui. Įbrėžtinis kampas, remiantis tą patį lanką, yra du kartus mažesnis. Įbrėžtinis kampas, remiantis skersmenį, yra status. Liestinė lietimosi taške yra statmena spinduliui.

Lanko ilgis ir išpjovos plotas sudaro tokią pačią viso apskritimo ar skritulio dalį, kokią kampas sudaro iš 360°. Formulėse kampas turi būti laipsniais, jei naudojamas santykis su 360°.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$C=2\pi r=\pi d$$ $$S=\pi r^2$$ $$l=(\alpha/360^\circ)2\pi r$$ $$S_{išpjovos}=(\alpha/360^\circ)\pi r^2$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Skritulio spindulys 6 cm, centrinis kampas 120°. Raskite lanko ilgį ir išpjovos plotą.

1. Kampo dalis nuo viso apskritimo: $120/360=1/3$.
2. Lankas: $l=(1/3)\cdot2\pi\cdot6=4\pi$ cm.
3. Išpjovos plotas: $S=(1/3)\cdot\pi\cdot6^2=12\pi$ cm².

Atsakymas. Lanko ilgis $4\pi$ cm, plotas $12\pi$ cm².

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Apskritimo ilgį ir skritulio plotą laikyti tuo pačiu dydžiu.
• Įbrėžtinio kampo dydį prilyginti visam remiamam lankui.
• Skersmenį įstatyti į formulę vietoje spindulio nepadalijus iš dviejų.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Spindulys 5 cm. Raskite apskritimo ilgį.
2. Skersmuo 12 cm. Raskite skritulio plotą.
3. Centrinis kampas remiasi 80° lanku. Koks jo dydis?
4. Įbrėžtinis kampas remiasi 100° lanku. Koks kampas?
5. Koks kampas tarp liestinės ir spindulio lietimosi taške?
6. Raskite pusapskritimio lanko ilgį, kai $r=4$.
7. Raskite 90° išpjovos plotą, kai $r=8$.
8. Įbrėžtinis trikampis remiasi skersmeniu. Koks kampas prieš skersmenį?

Atsakymai savitikrai

1. $10\pi$ cm.
2. $36\pi$ cm².
3. $80^\circ$.
4. $50^\circ$.
5. $90^\circ$.
6. $4\pi$.
7. $16\pi$.
8. Statusis, $90^\circ$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Apskritimas ir skritulys. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.