Pitagoro teorema ir atstumai

Pitagoro teorema ir atstumai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Pitagoro teorema ir atstumai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Pitagoro teorema teigia, kad stačiajame trikampyje statinių kvadratų suma lygi įžambinės kvadratui. Atvirkštinis teiginys leidžia patikrinti, ar trikampis statusis: didžiausios kraštinės kvadratas turi būti lygus kitų dviejų kvadratų sumai.

Koordinačių plokštumoje dviejų taškų atstumo formulė gaunama nubrėžus horizontalų ir vertikalų statinius. Ta pati idėja tinka stačiakampio įstrižainei ir erdvėje – stačiakampio gretasienio įstrižainei, Pitagoro teoremą taikant du kartus.

Prieš skaičiuojant reikia įsitikinti, kuri kraštinė yra įžambinė. Ji visada yra prieš statųjį kampą ir ilgiausia. Ilgio atsakymas negali būti neigiamas, todėl ištraukus kvadratinę šaknį pasirenkama teigiama reikšmė.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$a^2+b^2=c^2$$ $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ $$D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Stačiakampio gretasienio matmenys 3 cm, 4 cm ir 12 cm. Raskite erdvinę įstrižainę.

1. Pagrindo įstrižainė: $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
2. Pagrindo įstrižainė, aukštis ir erdvinė įstrižainė sudaro statųjį trikampį.
3. $D=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm.

Atsakymas. Erdvinė įstrižainė lygi 13 cm.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Įžambinę supainioti su vienu iš statinių.
• Sudedant kvadratus pirma sudėti kraštines ir tik tada kelti kvadratu.
• Atstumo formulėje pamesti vienos koordinačių poros skirtumo kvadratą.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Statiniai 6 ir 8. Raskite įžambinę.
2. Įžambinė 13, vienas statinis 5. Raskite kitą.
3. Ar kraštinės 7, 24 ir 25 sudaro statųjį trikampį?
4. Raskite atstumą tarp $(1;2)$ ir $(4;6)$.
5. Kvadrato kraštinė 9. Raskite įstrižainę.
6. Stačiakampio kraštinės 5 ir 11. Raskite įstrižainę.
7. Kubo kraštinė 4. Raskite erdvinę įstrižainę.
8. Kodėl kraštinės 2, 3 ir 6 nesudaro trikampio?

Atsakymai savitikrai

3. Taip.
5. $9\sqrt2$.
6. $\sqrt{146}$.
7. $4\sqrt3$.
8. Nes $2+3<6$, pažeista trikampio nelygybė.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Pitagoro teorema ir atstumai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.