egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Lygtys ir nelygybės

Orientacinė trukmė: ~30 min

Lygtys ir nelygybės

Tiesinė lygtis

ax+b=0⇒x=−baax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}

Pavyzdys 1

4x – 12 = 8 → 4x = 20 → x = 5

Pavyzdys 2

3(2x – 1) = 5x + 7 6x – 3 = 5x + 7 x = 10

Kvadratinė lygtis

ax2+bx+c=0,a≠0ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0

Diskriminanto metodas

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

  • D > 0: du realieji šaknys x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
  • D = 0: viena šaknis x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
  • D < 0: realiųjų šaknų nėra

Pavyzdys 3

x² – 5x + 6 = 0

D=25−24=1D = 25 - 24 = 1 x1=5+12=3,x2=5−12=2x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2

Pavyzdys 4

2x² + 3x – 2 = 0

D=9+16=25D = 9 + 16 = 25 x1=−3+54=12,x2=−3−54=−2x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2

Pavyzdys 5

x² – 4x + 5 = 0

D=16−20=−4<0— realiųjų sˇaknų ne˙raD = 16 - 20 = -4 < 0 \quad \text{— realiųjų šaknų nėra}

Nepilnosios kvadratinės lygtys

Tipo ax² = 0: x = 0

Tipo ax² + c = 0:

x2=−cax^2 = -\frac{c}{a}

Jei −c/a>0-c/a > 0: x=±−c/ax = \pm\sqrt{-c/a}

Pavyzdys 6: x² – 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3

Tipo ax² + bx = 0:

x(ax+b)=0⇒x=0 arba x=−bax(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ arba } x = -\frac{b}{a}

Pavyzdys 7: 3x² – 12x = 0 → 3x(x – 4) = 0 → x = 0 arba x = 4

Vieto teorema

Jei x₁ ir x₂ – lygties x² + px + q = 0 šaknys:

x1+x2=−p,x1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Pavyzdys 8: Šaknys 2 ir 5. Lygtis: x² – 7x + 10 = 0

Tiesinė nelygybė

Sprendimas analogiškas lygtims, tačiau:

  • Dalinant/dauginant iš neigiamo skaičiaus, ženklas keičiasi!

Pavyzdys 9: –3x + 6 > 0 → –3x > –6 → x < 2

Sprendinio aibė: (–∞; 2)

Kvadratinė nelygybė

Algoritmas:

  1. Pertvarkome taip, kad dešinėje 0
  2. Randame kvadratinės lygties šaknis (jei yra)
  3. Braižome parabolę ir nustatome, kuriuose intervaluose ji virš/po x ašies

Pavyzdys 10: x² – 3x – 4 > 0

Šaknys: x₁ = –1, x₂ = 4 (a = 1 > 0, parabolė aukštyn)

Parabolė virš x ašies: x < –1 arba x > 4

Pavyzdys 11: x² – x – 6 ≤ 0

Šaknys: x₁ = –2, x₂ = 3

Parabolė po x ašimi tarp šaknų: –2 ≤ x ≤ 3

Kaip patikrinti rezultatą

Lygties šaknis tikrinama įstatant ją į pradinę lygtį. Kvadratinės nelygybės atsakymui vien šaknų nepakanka: jos tik padalija skaičių tiesę į intervalus, o kiekviename intervale reikia nustatyti kvadratinio reiškinio ženklą. Tai galima padaryti parabolės kryptimi arba pasirinkus bandomąjį tašką.

Jei nelygybė griežta, šaknys į atsakymą neįtraukiamos. Jei vartojami ženklai ≤\leq arba ≥\geq, šaknys įtraukiamos, nes jose reiškinys lygus nuliui. Tekstiniame uždavinyje dar tikrinama, ar sprendinys atitinka matavimo vienetus, teigiamumą ir sveikumo sąlygą.

Savarankiško darbo užduotys

  1. 5x – 3 = 2x + 9
  2. x² – 7x + 10 = 0
  3. 3x² + 5x – 2 = 0
  4. 4x² – 25 = 0
  5. 2x² – 6x = 0
  6. –2x + 4 < 10
  7. x² – 4 > 0
  8. x² – 4x + 4 ≤ 0
  9. Skaičiaus kvadratas atėmus penkis kartus tas pats skaičius lygus –4. Skaičius?
  10. Dėžės tūris 36 cm³. Ilgis 2 cm ilgesnis už plotį, aukštis 3 cm. Raskite matmenis.