Lygčių sistemos

Tiesinė sistema su dviem kintamaisiais

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Sprendinys – taškų pora (x; y), tenkinanti abi lygtis.

Pakeitimo metodas

Iš vienos lygties išreiškiame vieną kintamąjį
Įstatome į kitą lygtį
Sprendžiame vieno kintamojo lygtį

Pavyzdys 1

$\begin{cases} x = 2y + 1 \\ 3x + y = 20 \end{cases}$

Įstatome x = 2y + 1 į antrą:

$3(2y+1) + y = 20 \Rightarrow 7y = 17 \Rightarrow y = \frac{17}{7}$

Hmm, pabandykime su patogiais skaičiais.

Pavyzdys 2

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Iš pirmos: x = 8 – y. Į antrą: (8 – y) – y = 2 → 8 – 2y = 2 → y = 3, x = 5

Patikrinimas: 5 + 3 = 8 ✓, 5 – 3 = 2 ✓

Sudėjimo (atimties) metodas

Dauginsime lygtis iš skaičių, kad vienas kintamasis išnyktų.

Pavyzdys 3

$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

Sudedame (koeficientai prie y jau priešingi):

$6x = 18 \Rightarrow x = 3$

Į pirmą: 6 + 3y = 12 → y = 2

Pavyzdys 4

$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x + 3y = 11 \end{cases}$

Dauginsime pirmą × 3 ir antrą × 2:

$\begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 10x + 6y = 22 \end{cases}$

Atimame: –x = –1 → x = 1, y = (7 – 3)/2 = 2

Sistemos sprendinių skaičius

Atvejis	Geometriškai	Sprendiniai
Tiesės kertasi	Vienas taškas	Vienas sprendinys
Tiesės lygiagrečios	Nesitieka	Nėra
Tiesės sutampa	Sutampa	Begalybė

Pavyzdys 5 (lygiagrečios tiesės)

$\begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$

Pirmą × (1/2): x + 2y = 4. Bet x + 2y = 6. 4 ≠ 6 – prieštaravimas, sprendinių nėra.

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 6

Kepykloje pardavinėjamos dvi rūšių spurgos: sviestinės po 1,50 € ir su įdaru po 2 €. Parduota 80 vnt., gauta 140 €. Kiek kiekvienos rūšies?

$\begin{cases} s + d = 80 \\ 1{,}5s + 2d = 140 \end{cases}$

Iš pirmos: s = 80 – d. Į antrą:

$1{,}5(80 - d) + 2d = 140$ $120 - 1{,}5d + 2d = 140$ $0{,}5d = 20 \Rightarrow d = 40, \quad s = 40$

Atsakymas: 40 sviestinių ir 40 su įdaru.

Pavyzdys 7

Dviem skaitmenimis rašomas skaičius. Skaitmenų suma 9. Jei skaičių apversime (dešimtys ir vienetai sukeisti), gauname skaičių 27 daugiau. Koks skaičius?

Tegul dešimčių sk. = a, vienetų = b. Skaičius = 10a + b.

$\begin{cases} a + b = 9 \\ 10b + a = (10a + b) + 27 \end{cases}$

Antra: 9b – 9a = 27 → b – a = 3.

Sistema: a + b = 9 ir b – a = 3 → b = 6, a = 3.

Atsakymas: 36. Patikrinimas: 63 – 36 = 27 ✓

Savarankiško darbo užduotys

$\{x + y = 15;\ x - y = 5\}$
$\{2x + y = 9;\ x - y = 3\}$
$\{3x + 2y = 16;\ x + y = 7\}$
$\{4x - 3y = 1;\ 2x + y = 5\}$
$\{x/2 + y = 4;\ x - y/3 = 3\}$
Suaugusiųjų bilietas kainuoja 3 € daugiau nei vaikų. 4 suaugusieji ir 6 vaikai sumokėjo 54 €. Kainos?
Du skaičiai. Didesnis yra 4 kartus didesnis nei mažesnis. Suma 50. Raskite skaičius.
Mokiniai surinko 180 € fondui. Mergaitės rinko dvigubai daugiau nei berniukai. Kiek surinko kiekviena grupė?
Avys ir triušiai: galvų 35, kojų 104. Kiek avių, kiek triušių?
Traukinys ir autobusas važiuoja ta pačia kryptimi. Traukinys 2 kartus greitesnis. Autobusas išvyksta 1 val. anksčiau. Po 3 val. traukinys aplenkia autobusą. Greičiai?