Funkcijų grafikai

Funkcijų grafikai

Kas yra funkcijos grafikas?

Funkcijos grafikas – tai visų taškų $(x; y)$, kurie tenkina $y = f(x)$, aibė koordinačių plokštumoje. Iš grafiko galime skaityti įvairias funkcijos savybes.

---

Grafiko skaitymas

Reikšmės radimas

• Rasti $y$ pagal $x$: nuo taško $x$ ašyje brėžiame vertikalę iki grafiko ir skaitome $y$ reikšmę.
• Rasti $x$ pagal $y$: nuo taško $y$ ašyje brėžiame horizontalę iki grafiko ir skaitome $x$ reikšmę (-es).

Pavyzdys 1

Tiesės $y = 2x - 3$ grafikas. Raskite $y$, kai $x = 4$:

$y = 2 \cdot 4 - 3 = \mathbf{5}$

Raskite $x$, kai $y = 1$:

$1 = 2x - 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = \mathbf{2}$

---

Apibrėžimo ir reikšmių sritys

• Apibrėžimo sritis (domenas) – visos $x$ reikšmės, kurioms grafikas egzistuoja. Žiūrime, kiek grafikas „išsitęsia" horizontaliai.
• Reikšmių sritis (kodomenas) – visos $y$ reikšmės, kurias grafikas pasiekia. Žiūrime, kiek grafikas „išsitęsia" vertikaliai.

Pavyzdys 2

Parabolė $y = x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

• Apibrėžimo sritis: $(-\infty; +\infty)$ – visos $x$ reikšmės
• Reikšmių sritis: $[0; +\infty)$ – tik neneigiamos $y$ reikšmės

---

Funkcijos nuliai

Funkcijos nuliai – tai taškai, kuriuose grafikas kerta $x$ ašį (kur $y = 0$).

Pavyzdys 3

Tiesė $y = 3x - 6$. Randame nulį:

$3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$

Grafikas kerta $x$ ašį taške $(2; 0)$.

---

Funkcijos ženklas

Iš grafiko nustatome, kur funkcija yra teigiama ($y > 0$) ir kur neigiama ($y < 0$):

• Teigiama – grafikas virš $x$ ašies
• Neigiama – grafikas žemiau $x$ ašies

Pavyzdys 4

Tiesės $y = 2x - 4$ grafikas kerta $x$ ašį taške $x = 2$:

---

Didėjimo ir mažėjimo intervalai

• Funkcija didėja, kai einant iš kairės į dešinę grafikas kyla ↗
• Funkcija mažėja, kai einant iš kairės į dešinę grafikas leidžiasi ↘

Pavyzdys 5

Parabolė $y = -x^2 + 4x - 3$ turi viršūnę taške $x = 2$:

• Didėja: $(-\infty; 2)$
• Mažėja: $(2; +\infty)$

---

Didžiausia ir mažiausia reikšmės

• Didžiausia reikšmė (maksimumas) – aukščiausias grafiko taškas
• Mažiausia reikšmė (minimumas) – žemiausias grafiko taškas

Pavyzdys 6

$y = -x^2 + 4x - 3$. Viršūnės $y$ reikšmė:

$y_{\text{max}} = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = \mathbf{1}$

Didžiausia reikšmė yra 1 (pasiekiama, kai $x = 2$). Mažiausios reikšmės nėra (parabolė leidžiasi iki $-\infty$).

---

Grafiko transformacijos

Pagrindinės transformacijos, kai žinomas $y = f(x)$ grafikas:

Pavyzdys 7

Žinome $y = x^2$ grafiką (parabolė su viršūne taške $(0; 0)$).

• $y = x^2 + 3$: parabolė pasislenka 3 vienetais aukštyn, viršūnė $(0; 3)$
• $y = (x - 2)^2$: parabolė pasislenka 2 vienetais dešinėn, viršūnė $(2; 0)$
• $y = (x + 1)^2 - 4$: parabolė pasislenka 1 kairėn ir 4 žemyn, viršūnė $(-1; -4)$

Pavyzdys 8

$y = -x^2$: tai $y = x^2$ atspindys per $x$ ašį – parabolė apverčiama žemyn.

---

Dviejų funkcijų palyginimas

Iš grafiko galime nustatyti, kur viena funkcija didesnė už kitą. Grafikai kertasi taškuose, kur $f(x) = g(x)$.

Pavyzdys 9

Tiesė $y = x$ ir parabolė $y = x^2$ kertasi taškuose $x = 0$ ir $x = 1$.

• Kai $0 < x < 1$: tiesė virš parabolės, t. y. $x > x^2$
• Kai $x > 1$: parabolė virš tiesės, t. y. $x^2 > x$

Pavyzdys 10

Jei dviejų funkcijų grafikai nekerta vienas kito, tai viena funkcija visada didesnė (arba mažesnė) už kitą visoje apibrėžimo srityje.

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Tiesės $y = -3x + 6$ grafikas kerta $x$ ašį ir $y$ ašį. Raskite šiuos taškus.
2. Parabolė $y = x^2 - 4$. Nurodykite apibrėžimo ir reikšmių sritis.
3. Raskite funkcijos $y = x^2 - 6x + 8$ nulius.
4. Kuriuose intervaluose $y = x^2 - 6x + 8 > 0$?
5. Nurodykite, kuriuose intervaluose funkcija $y = x^2 - 2x$ didėja, o kuriuose mažėja.
6. Raskite funkcijos $y = -x^2 + 6x - 5$ didžiausią reikšmę.
7. Kaip pasikeis $y = x^2$ grafikas, jei jį pakeisime į $y = x^2 - 5$?
8. Kaip pasikeis $y = x^2$ grafikas, jei jį pakeisime į $y = (x + 3)^2$?
9. Nubraižykite (aprašykite) $y = (x - 1)^2 + 2$ grafiko viršūnę ir kryptį.
10. Tiesė $y = x + 2$ ir parabolė $y = x^2$ kertasi dviejuose taškuose. Raskite jų $x$ koordinates.