Kvadratinė funkcija

Kvadratinė funkcija

Apibrėžimas

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

Grafikas – parabolė.

---

Pagrindinės savybės

Viršūnė

$x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = ax_v^2 + bx_v + c$

Simetrijos ašis

Vertikali tiesė $x = -\frac{b}{2a}$

---

Funkcijos tyrimas

Pavyzdys 1

f(x) = x² – 4x + 3

a = 1 > 0 – parabolė aukštyn, minimumas.

Viršūnė: $x_v = -\frac{-4}{2} = 2$, $y_v = 4 - 8 + 3 = -1$

Viršūnė (2, –1), minimumas y = –1.

Su y ašimi: x = 0 → y = 3, taškas (0, 3)

Su x ašimi: x² – 4x + 3 = 0 → (x–1)(x–3) = 0 → (1, 0) ir (3, 0)

Pavyzdys 2

g(x) = –2x² + 4x + 6

a = –2 < 0 – parabolė žemyn, maksimumas.

Viršūnė: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$, $y_v = -2 + 4 + 6 = 8$

Viršūnė (1, 8), maksimumas y = 8.

Su x ašimi: –2x² + 4x + 6 = 0 → x² – 2x – 3 = 0 → (x+1)(x–3) = 0 → (–1, 0) ir (3, 0)

---

Parabolė ir x ašis

Kiek taškų turi parabolė su x ašimi – nulemia diskriminantas:

• D > 0: du susikirtimo taškai
• D = 0: vienas (liečiasi)
• D < 0: nesikerta

Pavyzdys 3

f(x) = x² – 2x + 5: D = 4 – 20 = –16 < 0

Parabolė x ašies neliečia (visad aukščiau x ašies, nes a > 0).

---

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 4

Ūkininkas aptverti stato 60 m tvoros. Viena pusė – siena. Kokiu pločiu (x) bus didžiausias plotas?

Ilgis = 60 – 2x, Plotas: S = x(60 – 2x) = –2x² + 60x

$x_v = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15 \text{ m}$

Maks. plotas: S = –2·225 + 60·15 = –450 + 900 = 450 m²

Pavyzdys 5

Sviedinys mestas vertikaliai. Aukštis: h(t) = –5t² + 20t (metrais, t – sekundėmis). Koks maksimalus aukštis? Kada parkrista?

Maks. aukštis: $t_v = \frac{20}{10} = 2$ s; $h = -5 \cdot 4 + 40 = 20$ m

Kada parkrista: –5t² + 20t = 0 → 5t(–t + 4) = 0 → t = 4 s

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Nustatykite: ar f(x) = –3x² + 6x – 2 turi minimumą ar maksimumą.
2. Raskite parabolės y = x² – 6x + 8 viršūnę ir šaknis.
3. Raskite f(3), jei f(x) = 2x² – x + 1.
4. Parabolė y = ax² – 4x + 1. Raskite a, jei parabolė liečia x ašį (D = 0).
5. Kamuolys mestas aukštyn: h(t) = –4,9t² + 15t + 1,5. Koks maks. aukštis?
6. Parabolė kerta x ašį taškuose (–2, 0) ir (4, 0). Raskite simetrijos ašį ir viršūnę (a = 1).
7. Pelnas: P(x) = –x² + 100x – 2000, kur x – pardavimų skaičius. Kiek parduoti, kad pelnas maks.?
8. Kuriame intervale y = x² – 5x + 4 yra neigiama?
9. Ar taškai (0, 3), (1, 0), (3, 0) priklauso tai pačiai parabolei?
10. Raskite du skaičius, kurių suma 12 ir sandauga didžiausia.