Apskritimas ir jo elementai

Apskritimas ir jo elementai

Pagrindiniai elementai

• Centras O – apskritimo vidurio taškas
• Spindulys r – atstumas nuo centro iki apskritimo
• Skersmuo d = 2r – styga per centrą
• Styga – atkarpa jungiant du apskritimo taškus
• Lankas – apskritimo dalis tarp dviejų taškų
• Sektorius – „picos gabalas" (du spinduliai + lankas)

---

Pagrindinės formulės

$\text{Apskritimo ilgis: } C = 2\pi r$

$\text{Skritulio plotas: } S = \pi r^2$

$\text{Lanko ilgis: } l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

$\text{Sektoriaus plotas: } S_{sek} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

---

Centrinis kampas ir lankas

Centrinis kampas – kampas, kurio viršūnė centre, o kraštinės – spinduliai.

Centrinis kampas tiesiogiai proporcingas lankui, kurį apriboja.

Pavyzdys 1

Centrinis kampas 90° (ketvirtis apskritimo). r = 10 cm.

$l = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{4} \cdot 20\pi = 5\pi \approx 15{,}71 \text{ cm}$

$S_{sek} = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 100 = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \approx 78{,}54 \text{ cm}^2$

Pavyzdys 2

Lanko ilgis 12π cm, r = 18 cm. Koks centrinis kampas?

$\alpha = \frac{l \cdot 360°}{2\pi r} = \frac{12\pi \cdot 360°}{2\pi \cdot 18} = \frac{12 \cdot 360}{36} = \mathbf{120°}$

---

Styga ir centras

Statmuo iš centro į stygą perpus dalija stygą.

Jei styga nutolusi d nuo centro, spindulys r, tai pusė stygos = √(r² – d²).

Pavyzdys 3

Apskritimo r = 10 cm. Styga nutolusi 6 cm nuo centro. Stygos ilgis?

Pusė = √(100 – 36) = √64 = 8 cm. Visa styga = 16 cm.

---

Liestinė

Liestinė – tiesė, liečianti apskritimą viename taške.

Savybė: Liestinė statmena spinduliui liestinės taške.

Pavyzdys 4

Apskritimas centru O, spindulys 5. Išoriniai taškas A 13 cm nuo centro. Liestinės ilgis iš A?

Stačiasis kampas tarp spinduliu ir liestinėje. Pitagoras:

$AT^2 = AO^2 - r^2 = 169 - 25 = 144$ $AT = \mathbf{12} \text{ cm}$

---

Du apskritimai

• Nesusikreto (atstumas > r₁ + r₂): nesiliečia
• Išorinis liestinis (atstumas = r₁ + r₂): liečiasi viename taške iš išorės
• Susikertantys (|r₁ – r₂| < atstumas < r₁ + r₂): du bendri taškai
• Vidinis liestinis (atstumas = |r₁ – r₂|): vienas viduje, liečiasi
• Vienas viduje (atstumas < |r₁ – r₂|): vienas kito viduje

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskritimo r = 5 cm. Raskite apskritimo ilgį ir plotą.
2. Laikrodžio minutinė rodyklė 12 cm. Kelią nueina per 20 min?
3. Centrinis kampas 72°, r = 15 cm. Lanko ilgis ir sektoriaus plotas?
4. Sektoriaus plotas 25π cm², centrinis kampas 90°. Spindulys?
5. Styga 24 cm, nutolusi 5 cm nuo centro. Spindulys?
6. Spindulys 17 cm, styga 30 cm. Atstumas nuo centro?
7. Liestinė iš taško 15 cm nuo centro, r = 9 cm. Liestinės ilgis?
8. Apskritimas: x² + y² = 25. Ar taškas (3, 4) priklauso apskritimui?
9. Du apskritimai: r₁ = 6, r₂ = 4, centrų atstumas 10. Koks santykis?
10. Pica skersmuo 32 cm atpjovus 60° gabalą. Gabalėlio plotas ir lanko ilgis?