Vidurkis, mediana ir moda

Vidurkis, mediana ir moda

Aritmetinis vidurkis

Aritmetinis vidurkis (x̄) – visų reikšmių suma padalyta iš kiekio:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$

Pavyzdys 1

Pažymiai: 6, 8, 7, 9, 5, 8, 7.

$\bar{x} = \frac{6+8+7+9+5+8+7}{7} = \frac{50}{7} \approx 7{,}1$

Pavyzdys 2

Svertinis vidurkis: kiekviena reikšmė turi svorį.

Pažymiai su svoriais: 8 (3×), 9 (2×), 7 (1×):

$\bar{x} = \frac{8 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 7 \cdot 1}{6} = \frac{24+18+7}{6} = \frac{49}{6} \approx 8{,}2$

---

Mediana

Mediana (Me) – vidurinė reikšmė, kai duomenys išrikiuoti didėjimo tvarka.

• Jei n nelyginis: mediana = vidurinė reikšmė
• Jei n lyginis: mediana = dviejų vidurinių reikšmių vidurkis

Pavyzdys 3

Duomenys: 3, 5, 7, 8, 9, 11, 14 (n = 7)

Mediana = 8 (4-oji reikšmė)

Pavyzdys 4

Duomenys: 4, 6, 8, 10, 13, 15 (n = 6)

Mediana = (8 + 10)/2 = 9

---

Moda

Moda (Mo) – dažniausiai pasikartojanti reikšmė.

• Gali būti viena, kelios arba nė vienos (jei visi vienodai dažni)

Pavyzdys 5

Pažymiai: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

Moda = 7 (pasikartoja 3 kartus)

Pavyzdys 6

Pažymiai: 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Modos: 7 ir 8 (bimodalūs duomenys)

---

Kai kuriuo rodikliu naudotis?

Pavyzdys 7: Darbuotojų atlyginimai: 900, 950, 1000, 1050, 5000 €.

• Vidurkis: (900+950+1000+1050+5000)/5 = 1780 € (per didelis dėl 5000)
• Mediana: 1000 € (geriau atspindi)

---

Dispersija ir standartinis nuokrypis

Dispersija (D) – rodiklis, kiek duomenys „išsisklaidę" aplink vidurkį:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Standartinis nuokrypis (σ):

$\sigma = \sqrt{D}$

Pavyzdys 8

Duomenys: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Vidurkis x̄ = 5.

$D = \frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$\sigma = \sqrt{4} = \mathbf{2}$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Raskite vidurkį: 12, 15, 11, 18, 14.
2. Raskite medianą: 3, 7, 2, 9, 5, 1, 8.
3. Raskite modą: 4, 5, 5, 6, 5, 7, 6, 4, 5.
4. Temperatūros per savaitę: 18, 20, 22, 19, 25, 28, 21. Vidurkis ir mediana?
5. Pažymiai: 7, 8, 9, 7, 6, 8, 7, 10, 8, 7. Vidurkis, mediana, moda.
6. Namų kainos: 60 000, 65 000, 70 000, 75 000, 200 000 €. Kuris rodiklis geriau atspindi?
7. Apskaičiuokite dispersiją: 3, 5, 5, 7 (vidurkis = 5).
8. Kas didesnis: vidurkis ar mediana, jei duomenyse yra didelė išskirtis?
9. Penki egzaminai: 72, 86, 79, 91, 82. Vidurkis? Kiek reikia 6-ame, kad vidurkis 85?
10. Dvi grupės: A – vidurkis 75, D = 25; B – vidurkis 75, D = 100. Kuri pastovesnė?