Eksponentinės funkcijos

Eksponentinės funkcijos

Apibrėžimas

Eksponentinė funkcija – tai funkcija forma:

y = a^x

čia a – pagrindas (a > 0, a ≠ 1), x – kintamasis (eksponentė).

Svarbu: Eksponentinėje funkcijoje kintamasis yra laipsnio rodiklyje, o ne pagrinde. Todėl y = x² nėra eksponentinė funkcija (tai kvadratinė funkcija).

Pavyzdžiai:

• y = 2^x
• y = 3^x
• y = (1/2)^x
• y = 10^x
• y = e^x (ypatingai svarbi!)

Eksponentinės funkcijos savybės

Kai a > 1 (auganti funkcija)

Pavyzdys: y = 2^x

• Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje
• Kai x → +∞, y → +∞ (funkcija auga be ribų)
• Kai x → -∞, y → 0 (grafikas artėja prie Ox ašies iš viršaus)
• Grafiko taškai: (-2; 1/4), (-1; 1/2), (0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)
• Grafikas kerta Oy ašį taške (0; 1)

Kai 0 < a < 1 (mažėjanti funkcija)

Pavyzdys: y = (1/2)^x

• Funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje
• Kai x → +∞, y → 0 (grafikas artėja prie Ox ašies iš viršaus)
• Kai x → -∞, y → +∞ (funkcija auga be ribų)
• Grafiko taškai: (-2; 4), (-1; 2), (0; 1), (1; 1/2), (2; 1/4)

Pastaba: (1/2)^x = 2^(-x) – tai 2^x grafikas atspindėtas Oy ašies atžvilgiu.

Bendros savybės (bet kokiam a > 0, a ≠ 1)

Eulerinis skaičius e ir funkcija y = e^x

Skaičius e ≈ 2,71828... – tai matematinė konstanta, panaši į π.

Funkcija y = e^x vadinama natūraliąja eksponentine funkcija – ji ypač svarbi matematikoje ir gamtos moksluose, nes yra vienintelė funkcija, kurios išvestinė lygi jai pačiai: (e^x)' = e^x.

Savybės tokios pačios kaip y = 2^x (nes e ≈ 2,718 > 1):

• Didėjanti
• Grafikas kerta Oy ašį taške (0; 1)
• Asimptotė y = 0

Eksponentinės lygtys

Pagrindinė taisyklė: jei a^f(x) = a^g(x), tai f(x) = g(x) (pagrindai vienodi).

1 tipas – vienodi pagrindai:

2^x = 2^5 → x = 5

2 tipas – skirtingi pagrindai, bet suvedami į vienodą:

4^x = 8^(x-1)

• Pertvarkome: (2²)^x = (2³)^(x-1)
• 2^(2x) = 2^(3x-3)
• 2x = 3x - 3
• x = 3

3 tipas – pakeitimas kintamuoju:

2^(2x) - 5·2^x + 4 = 0

• Pakeičiame t = 2^x (t > 0):
• t² - 5t + 4 = 0
• (t - 1)(t - 4) = 0
• t = 1 arba t = 4
• 2^x = 1 = 2⁰ → x = 0
• 2^x = 4 = 2² → x = 2

Atsakymas: x = 0 arba x = 2

Taikymai

Sudėtinės palūkanos

Jei pradinė suma S₀ dedama į banką su metine palūkanų norma p (dalimis), po n metų sukauptama suma:

S_n = S₀ · (1 + p)^n

Pavyzdys: 1000 € dedama į banką su 5% metinėmis palūkanomis. Kiek bus po 10 metų?

S₁₀ = 1000 · (1 + 0,05)^10 = 1000 · 1,05^10 ≈ 1000 · 1,6289 ≈ 1628,89 €

Eksponentinis augimas

Biologinėse populiacijose, bakterijose:

N(t) = N₀ · a^t

kur N₀ – pradinė populiacija, a > 1 – augimo greitis.

Eksponentinis mažėjimas

Radioaktyvus skilimas, vaisto kiekis organizme:

N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T)

kur T – pusėjimo laikas.

Pavyzdys: Radioaktyvi medžiaga (pusėjimo laikas 3 metai), pradinė masė 100 g. Po 9 metų liks:

N(9) = 100 · (1/2)^(9/3) = 100 · (1/2)³ = 100 · 1/8 = 12,5 g

Eksponentinės funkcijos grafiko braižymas

Žingsniai:

1. Apskaičiuokite keletą taškų (pvz., x = -2, -1, 0, 1, 2)
2. Pažymėkite taškus koordinačių plokštumoje
3. Sujunkite sklandžia kreive
4. Pažymėkite asimptotę y = 0

Pavyzdys – y = 3^x:

Užduotys savarankiškam darbui

1. Nubraižykite funkcijų y = 3^x ir y = (1/3)^x grafikus viename koordinačių plane. Kuo jie panašūs, kuo skiriasi?

2. Išspręskite lygtis: a) 3^x = 81 b) 5^(2x-1) = 125 c) 4^x = 8^(x+1) d) 2^(2x) - 6·2^x + 8 = 0

3. 2000 € padėta į banką su 4% metinėmis palūkanomis. Po kiek metų suma viršys 3000 €? (Naudokite skaičiuotuvą.)

4. Bakterijų kolonija pradžioje turėjo 500 bakterijų. Kiekvienas valandą jų skaičius padvigubėja. Kiek bakterijų bus po 6 valandų?

5. Funkcija y = 2^x pastumta 3 vienetais kairėn ir 1 vienetu žemyn. Parašykite gautosios funkcijos formulę.

6. Palyginkite reikšmes be skaičiuotuvo: kuris skaičius didesnis: 2^30 ar 3^20?