Kvadratinės funkcijos

Kvadratinės funkcijos apibrėžimas

Kvadratinė funkcija – tai funkcija pavidalo: f(x) = ax² + bx + c

kur a ≠ 0, o b ir c – bet kokie realieji skaičiai.

Kvadratinės funkcijos grafikas vadinamas parabole.

Pavyzdžiai:

f(x) = x² - 4
f(x) = 2x² + 3x - 1
f(x) = -x² + 5

Parabolės forma

Kai a > 0:

Parabolės šakos nukreiptos į viršų ↑
Viršūnė yra minimumas

Kai a < 0:

Parabolės šakos nukreiptos žemyn ↓
Viršūnė yra maksimumas

Pastaba: Kuo didesnis |a|, tuo parabolė siauresnė. Kuo mažesnis |a|, tuo platesnė.

Parabolės viršūnė

Parabolės viršūnės koordinatės (xᵥ; yᵥ):

xᵥ = -b/(2a)

yᵥ = f(xᵥ) = a·xᵥ² + b·xᵥ + c

Pavyzdys: Raskime funkcijos f(x) = 2x² - 8x + 3 viršūnę.

a = 2, b = -8, c = 3

xᵥ = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2

yᵥ = 2·2² - 8·2 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5

Atsakymas: Viršūnė yra taške (2; -5)

Kvadratinės lygties šaknys

Parabolės susikirtimo taškai su Ox ašimi randami išsprendus lygtį: ax² + bx + c = 0

Diskriminantas

D = b² - 4ac

Šaknų skaičius:

1. D > 0 – lygtis turi dvi realias šaknis: x₁,₂ = (-b ± √D)/(2a)

2. D = 0 – lygtis turi vieną šaknį (dvigubą): x = -b/(2a)

3. D < 0 – lygtis neturi realiųjų šaknų

Pavyzdys: Išspręskime lygtį x² - 5x + 6 = 0

a = 1, b = -5, c = 6

D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1

D > 0, todėl yra dvi šaknys:

x₁ = (5 + √1)/(2·1) = 6/2 = 3

x₂ = (5 - √1)/(2·1) = 4/2 = 2

Atsakymas: x₁ = 3, x₂ = 2

Viršūninė forma

Kvadratinę funkciją galima užrašyti viršūnine forma:

f(x) = a(x - xᵥ)² + yᵥ

Pavyzdys: f(x) = x² - 4x + 3 viršūnine forma:

Viršūnė: xᵥ = 2, yᵥ = -1

f(x) = (x - 2)² - 1

Funkcijos reikšmių sritis

Kai a > 0 (šakos į viršų): E(f) = [yᵥ; +∞)

Kai a < 0 (šakos žemyn): E(f) = (-∞; yᵥ]

Monotoniškumas ir modelių taikymas

Simetrijos ašis padalija parabolę į dvi monotoniškas dalis. Kai $a>0$ , funkcija iki viršūnės mažėja, o už viršūnės didėja; kai $a<0$ , kryptys apsiverčia. Todėl viršūnė leidžia ne tik nubrėžti grafiką, bet ir rasti didžiausią ar mažiausią modelio reikšmę.

Kvadratiniai modeliai naudojami, kai pirmieji reikšmių skirtumai nėra pastovūs, bet pastovūs yra antrieji skirtumai. Taip gali kisti sviedinio aukštis, stačiakampio plotas esant fiksuotam perimetrui ar pelnas priklausomai nuo kainos. Kiekvienu atveju būtina nustatyti prasminį argumento intervalą.

Papildomas pavyzdys. Funkcijos $h(t)=-5t^2+20t+2$ viršūnės argumentas yra $t_V=-20/(2\cdot(-5))=2$ . Vadinasi, didžiausias aukštis pasiekiamas po 2 s ir lygus $h(2)=-20+40+2=22$ . Neigiama antroji parabolės šaknis ar laikas už nagrinėjamo intervalo fiziniame modelyje būtų atmetami.

Dažnos klaidos

Formulėje $x_V=-b/(2a)$ pamesti minusą arba vardiklio skliaustus.
Reikšmių sritį nustatyti pagal šaknis, o ne pagal viršūnę ir šakų kryptį.
Priimti visus algebrinius sprendinius nepatikrinus modelio intervalo.

Praktinės užduotys

Raskite funkcijos f(x) = x² + 6x + 5 viršūnę ir šaknis
Nustatykite funkcijos f(x) = -2x² + 8x - 3 reikšmių sritį
Kuriuo atveju funkcijos f(x) = x² + px + 9 grafikas liečia Ox ašį? Raskite p
Parašykite funkciją f(x) = 2x² - 12x + 10 viršūnine forma

Patarimas: Viršūninė forma labai naudinga braižant grafiką!