Tiesinės funkcijos

Tiesinės funkcijos

Apibrėžimas ir forma

Tiesinė funkcija – tai funkcija, kurią galima užrašyti forma:

y = kx + b

čia:

• k – nuolydis (kampinis koeficientas)
• b – laisvasis narys (tiesės persikirtimo su Oy ašimi ordinatė)

Tiesinės funkcijos grafikas visada yra tiesi linija.

Pavyzdžiai:

• y = 2x + 3 (k = 2, b = 3)
• y = -x + 5 (k = -1, b = 5)
• y = 4x (k = 4, b = 0) – tiesi einanti per koordinačių pradžią
• y = 7 (k = 0, b = 7) – horizontali tiesi

Nuolydis k

Nuolydis k rodo, kaip greitai kinta y reikšmė, didėjant x vienu vienetu.

• Kai k > 0 – funkcija didėja (tiesi kyla iš kairės į dešinę)
• Kai k < 0 – funkcija mažėja (tiesi leidžiasi iš kairės į dešinę)
• Kai k = 0 – funkcija pastovi (horizontali tiesi y = b)

Geometrinė prasmė: k = tan(α), kur α – tiesės kampas su Ox ašimi.

Kuo didesnis |k|, tuo „statesnė" tiesi. Kai k = 1, tiesė sudaro 45° kampą su Ox ašimi.

Laisvasis narys b

Laisvasis narys b parodo, kur tiesi kerta Oy ašį.

• Taškas (0; b) visada priklauso tiesei
• Kai b = 0, tiesi eina per koordinačių pradžią (0; 0)
• Kai b > 0, tiesi kerta Oy ašį aukščiau Ox ašies
• Kai b < 0, tiesi kerta Oy ašį žemiau Ox ašies

Grafiko braižymas

Norėdami nubraižyti tiesės grafiką, pakanka rasti du taškus:

1 būdas – per du taškus:

Funkcija y = 2x + 1:

• Kai x = 0: y = 2(0) + 1 = 1, taškas A(0; 1)
• Kai x = 2: y = 2(2) + 1 = 5, taškas B(2; 5)

Sujungiame taškus A ir B – gauname tiesės grafiką.

2 būdas – per b ir nuolydį:

1. Pažymime tašką (0; b) ant Oy ašies
2. Iš šio taško einame 1 vienetą į dešinę ir k vienetų aukštyn (jei k > 0) arba žemyn (jei k < 0)
3. Sujungiame abu taškus tiese

Funkcijos nulinis taškas (šaknis)

Tiesinės funkcijos nulinis taškas – tai x reikšmė, kai y = 0.

Randame iš lygties: kx + b = 0, todėl x = -b/k (kai k ≠ 0)

Pavyzdys: Raskime funkcijos y = 3x - 6 nulinį tašką:

• 3x - 6 = 0
• 3x = 6
• x = 2

Nulinis taškas: x = 2 (tiesi kerta Ox ašį taške (2; 0))

Lygiagretusios ir statmenos tiesės

Lygiagretusios tiesės

Dvi tiesės y = k₁x + b₁ ir y = k₂x + b₂ yra lygiagrečios, jei:

k₁ = k₂ ir b₁ ≠ b₂

Pavyzdys: y = 2x + 3 ir y = 2x - 1 yra lygiagrečios (abi turi nuolydį k = 2).

Statmenos tiesės

Dvi tiesės yra statmenos viena kitai, jei:

k₁ · k₂ = -1, arba ekvivalenčiai k₂ = -1/k₁

Pavyzdys: y = 3x + 1 ir y = -x/3 + 4 yra statmenos, nes 3 · (-1/3) = -1.

Ypatingas atvejis: horizontali tiesi (k = 0) yra statmena vertikaliai tiesei x = a.

Dviejų tiesių sankirtos taškas

Sankirtos tašką randame sprendžiant lygčių sistemą:

Pavyzdys: Raskime tiesių y = 2x + 1 ir y = -x + 7 sankirtos tašką:

• 2x + 1 = -x + 7
• 3x = 6
• x = 2, tada y = 2(2) + 1 = 5

Sankirtos taškas: (2; 5)

Tiesinės funkcijos savybės

Praktinis pavyzdys – uždavinys iš VBE

Uždavinys: Raskite tiesės, einančios per taškus A(1; 3) ir B(4; 9), lygtį.

Sprendimas:

1. Randame nuolydį: k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2

2. Naudojame formulę y - y₁ = k(x - x₁):

   • y - 3 = 2(x - 1)
   • y - 3 = 2x - 2
   • y = 2x + 1

Atsakymas: y = 2x + 1

Užduotys savarankiškam darbui

1. Nubraižykite funkcijų y = 3x - 2 ir y = -2x + 4 grafikus viename koordinačių plane ir raskite jų sankirtos tašką.

2. Ar tiesės y = 5x + 2 ir y = 5x - 7 yra lygiagrečios, statmenos ar nei viena, nei kita? Pagrįskite.

3. Raskite tiesės, statmenos tiesei y = 4x - 1 ir einančios per tašką (0; 3), lygtį.

4. Tiesinės funkcijos grafikas eina per taškus (2; 7) ir (-1; 1). Raskite funkcijos lygtį ir nulinį tašką.

5. Kokia yra funkcijos y = -3x + 9 reikšmė, kai x = -2? Raskite šios funkcijos nulinį tašką.

6. Tiesė y = kx + b yra lygiagreti tiesei y = -2x + 5 ir eina per tašką (3; 1). Raskite k ir b reikšmes.